— 441 - 



quale estese un procedimento che poco prima aveva dato il Beltrami per 

 determinare le linee di forza di un disco circolare conduttore elettrizzato. 



11 metodo seguito dal Betti è piuttosto complicato ; si possono però de- 

 terminare più semplicemente le linee di forza in base alla proprietà che la 

 funzione associata della funzione potenziale del sistema dato è Inarmonica; 

 ciò è mostrato nella mia Nota Sulle funzioni associate e sulle linee di 

 forza di un ellissoide ecc. (Rendiconti del ft. Istituto Lombardo, serie II, 

 voi. XXXVIII, a. 1905). 



Si può però ancora semplificare ulteriormente tale determinazione ricor- 

 rendo soltanto alla definizione stessa della funzione associata. È ciò che mi 

 propongo di dimostrare in questo breve scritto. 



* 



1. Sia V la funzione potenziale di una distribuzione di massa, simme- 

 trica rispetto ad un asse, che assumeremo per asse delle z. Chiamando poi u 

 la distanza di un punto qualunque P dall'asse Oz , e z la quota di P, la V, 

 nei punti P esterni alla massa attraente, è notoriamente funzione armonica, 

 e soddisfa, come ha già mostrato Laplace (') nel 1787, all'equazione 



1 7>V vv 



U 1)U ' ÌU % ~ÒZ 2 



la quale può scriversi 



perciò si può porre, com'è notissimo, 



(1) u 



u 



~ÒU ~ÌZ ~}z ~ìu 



ove W è una funzione, per ora arbitraria, di u e z; essa si chiama fun- 

 zione associata della V. Eliminando fra le (1) la V, si trova che W deve 

 soddisfare all'equazione 



H«W 1 W VW . . . „ 1 W 

 77 — + — -7 = , cioè AW = 2 , 



ÌU* u ìu 1)Z 2 U 1)U 



od anche, per la seconda delle (1), AW = 2 — ; ne segue AAW = 0, per- 



~bZ 



ciò la funzione associata W è biarmonica. 



(*) Laplace, Sur la tkéorie de Vanneau de Saturne, Oeuvres complètes, tome 11, 

 pag. 278. 



