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Ricordando poi che all'infinito la — è infinitesima di 2° ordine, 



~òu 



deduce, dalla prima delle (1), lim =0; e poiché all'infinito la W 



u — > oo ~Ò2 



è finita, si può scrivere pure 



(2) — ( lim W ) = 0. 



Poiché le linee di forza corrispondenti alla distribuzione simmetrica 

 considerata giacciono su piani passanti per l'asse 0^, è facile vedere che 

 l'equazione delle linee di forza, in un piano meridiano qualunque, è W = cost ; 

 infatti, l'equazione delle linee di forza è 



— du dz = ; cioè, per le (1), du + dz = , 



ossia dW = , onde W = cost. 



2. Consideriamo ora l'ellissoide o\ di rotazione intorno all'asse Oz: 



a 2 c 2 



e sia P(a , s) un punto esterno all'ellissoide; ponendo allora, colle notazioni 

 del Betti, 



e indicando con li la maggior radice dell'equazione quadratica 



<*> ^=1-^-^ = 0, 



la funzione 



di 



r> co 



(5) V(u,s) = na?c P(H) 



(a 2 + lyycP+i 



rappresenta, in tutto lo spazio esterno a e, la funzione potenziale di due 

 masse; una a tre dimensioni, l'altra a due (distribuita su e), la prima delle 

 quali riempie tutto lo spazio racchiuso da cr colla densità, nel punto M(w : ,*i): 



Ciò posto, dalla seconda delle (1) e dalla (5) risulta 



u di 



— F(0) 



(a 2 +2) Vc* + l 



1 Ih.). 



(a 2 + li) Ve 2 + K U ^ V 



ora conviene evidentemente trasformare il secondo membro in modo da farlo 

 apparire una derivata rispetto ad u; perciò bisogna esprimere le derivate 



