— 443 — 



di H e di , rispetto a s , mediante le derivate rispetto ad u . A questo ri- 

 guardo, osserviamo che si hanno le due identità 



() a* + ll>2~c 2 + Xl)U ' « 2 -f- A, ~aF ~~ c 2 + A, 1^" ; 



infatti, dalla (3) si ha, derivando rispetto a s e ad u, 



])H_ 2g ])H_ 2m 



~~ c 2 -f-/l ' Dm - _ a 2 -j-A' 



da cui segue senz'altro la prima delle (7); similmente dalla (4) si ha 



da cui risulta subito la seconda delle (7). 



Sostituendo nella (6) alle derivate di H e di X\ i valori dati dalle (7), 



risulta 



da, 



ossia 



ne segue 



7Ttì! 2 C — sF(H)- 



1u "SwJA, (tf»-f- A)|/tf«-f-A ' 



(8) W = ua'c *F(H) + fU) , 



ove f(z) è una funzione da determinarsi. Ricorrendo poi alla (2), si trae 

 = 0; quindi f{s) deve essere una costante, che si può supporre nulla; 



perciò la (8) fornisce senz'altro, per f(z) = , la funzione associata W. 



Osservazione. — Collo stesso procedimento si possono determinare le 

 funzioni associate di altre funzioni potenziali simmetriche. 



Così, ad es., se q è la distanza del punto P dall'origine, e si prende 



~ò n 1 



V = — -— In >. 0), si ha, dalla seconda delle (1), 



_ y +1 i_ _ y +1 u _ i> n+l i>e _ j y^g 



ÌU ~ U l>2 n+ì Q ~ ^ n+1 Q ~ ~hZ n+l !)U~ ~òU ' 



quindi 



e, ricorrendo alla (2), si trae che f(g) è una costante, che si può supporre 

 nulla; così si ha W. 



Rendiconti. 1920. Voi. XXIX, 1° Sem. 58 



