Geodesia. — Nuova soluzione del problema inverso del tras- 

 porto delle coordinate lungo una geodetica. Nota di Corradino 

 Mineo, presentata dal Socio T. Levi-Oivita. 



1. Sopra una superfìcie, si considerino le coordinate u e v d'un punto 

 d'una geodetica come funzione del suo arco s , contato a partire dal punto 

 iniziale (w 6 , v ). S'introducano le due variabili normali (Lipschitz) 



dove ( — ) , | — - ) sono i valori iniziali delle derivate di u e v rispetto 



Se i coefficienti dell'elemento lineare della superficie sono sviluppabili 

 in serie di Taylor in un intorno di (u*,v ), segue, da noti teoremi, chele 

 coordinate u , v d'un punto della geodetica sono sviluppabili, in un conve- 

 niente intorno del punto iniziale, in serie di potenze (non solo rispetto al- 

 l'arco s ma anche) rispetto alle variabili normali (1). 



Queste serie son della forma 



Nel caso dell'ellissoide besseliano, se k e v rappresentano le coordinate geo- 

 grafiche d'un suo punto, le (2) si applicano per calcolare, per archi di un 

 centinaio di chilometri, le coordinate dell'estremo dell'arco s, contato sopra 

 una determinata geodetica, a partire dal punto di coordinate u , v 9 (tras- 

 porto delle posizioni geografiche). Ma le (2). si sa bene, sono invertibili, 

 perchè il jacobiano 



non è nullo nel punto iniziale: ne consegue che da esse si possono ottenere, 

 per p e q. degli sviluppi in serie, secondo le potenze di u — u e v — v , 

 convergenti, nelle ipotesi ammesse, in un conveniente dominio intorno al 

 punto (u . v Q ) (*). 



(1) 



all'arco. 



(2) 



^ u = u ~\- p -\- a p 2 + b pq -\- c q* -\- ■ ■ • 

 \ v = v + q + aip 2 + b x pq + dq* -j 



B(u,v) 



( 1 ) Il che vuol dire che dentro un determinato cerchio geodetico di centro (u , v ) 

 esiste una sola geodetica congiangente questo punto con un punto interno al detto cerchio 

 (teorema di Darboux). 



