Ora da questi teoremi (necessario presupposto di non pochi sviluppi 

 adoperati ia Geodesia) scaturisce in modo affatto naturale, senza bisogno di 

 artifizi o di successive approssimazioni, una nuova soluzione, elegante e di- 

 retta, del cosiddetto problema inverso delle posizioni geografiche, consistente 

 nella ricerca della lunghezza s , e degli azimut negli estremi, d'un arco geo- 

 detico compreso tra due punti dati. Avute, infatti, le quantità _p e q, le 

 forinole fondamentali della teoria delle superficie permettono di trovar su- 

 bito gli elementi desiderati. 



Vogliamo appunto dare questi nuovi sviluppi per la risoluzione del 

 problema inverso: sviluppi che in pratica presentano gli stessi vantaggi di 

 quelli di Legendre per il problema diretto ( 1 ). 



Denotiamo con (f e co rispettivamente la latitudine e la longitudine 

 (espresse in radianti) d'un punto generico del nostro ellissoide, del quale 

 sia a il semiasse maggiore ed e l'eccentricità. Indichiamo poi con r , q e N 

 risp. il raggio del parallelo, il raggio di curvatura del meridiano e la gran 

 normale, relativi al punto (g> , co). 



Gli sviluppi (2), facilmente deducibili da quelli notissimi di Legendre, 

 sono, nel nostro caso, fino ai termini di 8° grado rigorosamente. 



Se* N 2 , sen 2<p N sen 2y 



9 = <P>+P ^ f ~ 4(?o f + 



e 2 N 2 ( e* N 2 sen 2 2cp \ 



\ a» C ° S 9o ) P + 



1 / !!oN± no e 2 sen 2 <p — 1 ) — 3 sen 2 

 6 \q a- x ' 



n 



2a 2 



(3) l +q[ ^7 ( 10 e* sen 2 g> — 1) — 3 sen 2 <p J pq 



Po sen <p 



Qo /Po 



U \r 



cosjp^v sen 2 g> 3 



d 



sen' 9 — ) p'q — — - — q* r 



dove p e q sono ora date dalle forinole 



. s cos a s sen a 



( 4 ) P== ~ ' q = ~~r ' 



essendo « l'azimut della geodetica nel punto iniziale (y ,<» ). 



Per procedere rapidamente all'inversione delle (3), non c'è che da ser- 

 virsi del metodo dei coefficienti indeterminati ( 2 ). Il calcolo, che omettiamo 



(') Per una ingegnosa soluzione indiretta, che conduce a formule approssimate in 

 grande analogia con i nostri sviluppi, vedi una Nota del ch.iìio prof. Guarducci. Sopra 

 due problemi di trigonometria sferoidica, Torino, 1882. 



( 2 ) Volendo l'espressione generale delle derivate di p e q rispetto a qp e o> (per cai- 



