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La (4) definisce fra i due piani z e w t (sul quale è stata al solito 

 distesa la Riemanniana) una siffatta rappresentazione conforme che gli assi 

 reali dei due piani si corrispondono fra loro, e che inoltre la retta sul 

 piano Wx parallela all'asse immaginario e di ascissa 1 — 2cf è la trasfor- 

 mata della retta sul piano s di ascissa — g e della circonferenza che ha il 

 centro nel punto ( — g , 0) ed ha per raggio f'(l — g 2 ). 



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È facile rendersi conto che, mediante la (4), una circonferenza data 

 sul piano z . di raggio unitario e col centro nell'origine, si trasforma sul 

 piano io x in un arco di circonferenza di raggio unitario e col centro nel- 

 l'origine. L'apertura di tale arco è data dal doppio dell'angolo sotto il quale 

 sul piano s si vedono dal punto ( — e , 0) le intersezioni della retta di 

 ascissa — g con la circonferenza data di raggio unitario. 



Lo scopo che ci siamo prefissi sarà subito raggiunto se consideriamo 

 le tre trasformazioni 



(I) ?(«) — + «)/(# + ?)] 



(II) Wì = Sì + \ 



(IH) w =f(3 l ) = (z ì 1 + a )/z 1 



di cui la (I) e la (III) sono quelle precedentemente considerate, e la (II) 

 è una semplice traslazione che trasporta una circonferenza che sul piano z 2 

 ha il centro nell'origine in un'altra uguale alla precedente, ma avente sul 

 piano Wì il centro nel punto (1 . 0). 



Riunendo le tre trasformazioni in una sola espressione, cioè ponendo 



w, = Zi 



* 1 = «>, = «©i +1 = {gz 2 + egz-\-z + g)l{z + g), 

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