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si ha 



(5) w = (gz* + 2* + <?) / (s + g) + a ^J r g)j + 2 * + g) 



che è funzione mediante la quale una circonferenza di raggio unitario 

 e col centro nell'origine del piano z si trasforma nel ramo chiuso della 

 curva (2). 



3. Fra le costanti e , g , a che entrano rispettivamente nella (4) e 

 nella (1), oltre alla condizione g = l/e, devono sussistere altre relazioni 

 affinchè l'arco nel quale, mediante la (4), si trasforma la data circonferenza 

 unitaria, sia uguale all'arco 'dalla cui trasformazione si ottiene il ramo chiuso 

 della curva (2). Basterà trovare le condizioni perchè siano uguali le coor- 

 dinate degli estremi omonimi dei due archi di cerchio sui piani w t e z x . 

 Si vede subito che sul piano w x l'estremo superiore dell'arco ottenuto dal- 

 l'applicazione della (I) è precisamente uno dei punti di diramazione. Per 

 tale punto si ha 



^ = 1 — 2f« -i- i2g - g*) , 



cioè, per (II), sul piano w 2 è nel punto corrispondente 



(6) iv ì = 2—2g*-\-i2g]/(i—g*). 



Applicando invece la (III), per l'estremo superiore dell'arco che si tras- 

 forma nel cappio, dovendo tale estremo corrispondere al punto (a , 0), si ha 



w = (si -f- a) I Zi = a , 



cioè 



s x = «/2rt- y(a 2 — 4a)/2; 



rigettando il segno negativo che spetta all'estremo inferiore dello stesso 

 arco [cui ugualmente corrisponde ir punto (a , 0) sul piano io], ed essendo 

 per ipotesi a < 1 , si ha 



(7) *, = a/2 + il/{4a — a*)/2. 

 Uguagliando (6) e (7), si ricava facilmente 



(8) f» = Ì-a/4 



che è la relazione cercata. 



