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dove p e q sono interi arbitrari, positivi, negativi o nulli (proporzionali alle 

 y e s di poc'anzi), e k è un fattore di proporzionalità, suscettibile eventual- 

 mente anche di taluni valori fratti. 



Ponendo 2p -j- 3q = r (numero che sarà certo intero, ogni qualvolta 

 siano tali p e q), si ricava 



r — 3q , _ 3r — hq 

 P = 2 , + 2<? = ; 



e per conseguenza 



k k 

 x = ^{òq 2 — 3rq) y = -(r 2 — 3rq) z = krq. 



a Ck 



Scrivendo pertanto 2k in luogo di k, e p in luogo di r, si hanno le 

 soluzioni richieste sotto la forma 



(4) x = k(òq 2 — 3pq) y = k(p 2 — 3pq) z = k.2pq 



dove ancora p e q sono interi, non entrambi nulli; e k (quando le espres- 

 sioni per cui è moltiplicato risultano numeri non primi fra loro) può rice- 

 vere anche convenienti valori fratti i 1 )- 



Poiché i fasci di curve ellittiche irriducibili della superficie P 4 , quali 

 a noi occorrono, corrispondono a valori di x , y , z primi fra loro possiamo 

 limitarci a tener conto delle coppie p, q anche primi fra loro. In tale ipotesi: 



1) Se p e q sono entrambi dispari, le tre espressioni òq 2 — 3pq , 

 p- — 3pq e 2pq sono numeri tutti pari (e l'ultimo non divisibile per 4). 

 Esse non ammettono invece il 2 come divisore comune, se dei due numeri 



p e q uno è pari e l'altro dispari; mentre il caso di p e q entrambi pari 

 rimane escluso, essendosi supposti p e q primi fra loro. 



2) [1 prodotto 2pq ammette, all'infuori del 2, i soli fattori primi 

 di p e q, tutti distinti gli uni dagli altri. Ora, i fattori di q non divide- 

 ranno certo p* — 3pq ; e, tra i fattori primi di p , il solo che possa divi- 

 dere anche òq 2 — 3pq , e che dividerebbe in tal caso tutte e tre le espressioni 

 moltiplicatrici di k nelle (4), è il 5; ben inteso, quando esso sia effettiva- 

 mente un divisore di p . 



( 1 ) Le forinole (4), per quanto appariscano meno simmetriche delle (3), si prestano 

 meglio allo studio delle trasformazioni birazionali sopra F 4 , poiché i fasci di cubiche 



l^il e \Yì\ s i hanno rispett. per p = 0,q = l,h = ^-; e p = l, q = , k=l . Allo 



scambio di x e y (rimanendo invariato x) corrisponde la sostituzione a p,q,k, rispett., 

 k 



di 5q , p , — . 



