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Concludendo: Per avere i fasci di curve ellittiche irriducibili della su- 

 perficie P 4 , è sufficiente dare nelle (4) a p e q valori interi primi fra loro; 

 e a k 



il valore \, se p e q sono entrambi dispari, e p non multiplo di 5; 

 » \, se p è multiplo di 5, e p e </ non entrambi dispari; 

 « -jL, se p,q sono entrambi dispari, e p multiplo di 5; 

 " 1 in tutti gli altri casi. 

 Si potrà inoltre supporre positivo uno determinato dei numeri p e q , 

 poiché so ,y ,2 rimangono inalterati se p e q si cambiano di (solo) segno 

 entrambi. Per p = , e quindi q = 1 (se deve essere primo con p), oppure 

 q = o , p = 1 , si hanno rispett. i due fasci di cubiche |y,| e |y 2 |. 



5. Affinchè la curva ellittica asy, -f- z/y 2 + *C di cui alla Nota prec, 

 e dove a; , y , 5 hanuo valori dati dalle (4), sia effettiva e irriducibile, i 

 parametri p e q devono ancora soddisfare a ulteriori condizioni. Ci limitiamo 

 a stabilirle nell'ipotesi di p e q entrambi positivi, perchè già si è detto po- 

 tersi cosi supporre per uno fra essi, mentre l'altro, come vedremo, può ren- 

 dersi tale applicando l'involuzione 1 . 



I tre moltiplicatori di k nelle (4), cioè i coefficienti dell'espressione 



(5) (5^* — 3pq) y 1 + (f — Spq) y 2 + 2pq . C , 



dovendo annullare la forma f, a coefficienti tutti positivi, non potranno es- 

 sere tutti e tre del medesimo segno. D'altra parte il terzo, 2pq , essendosi 

 supposti p e q positivi, è certo positivo. E i primi due, se la curva in pa- 

 rola è irriducibile, non possono essere entrambi negativi. Invero, la somma 

 dei tre coefficienti vale (p — 2q) 2 -\-q 2 , ed è perciò positiva; per conseguenza, 

 indicati i coefficienti stessi rispett. con — a, , — a 2 (negativi) e a 3 (positivo), 

 sarebbe a 3 > a x e la (5) potrebbe scriversi 



fli(C — Yi) -M«(C — Yì) + («s — «i — #2 (C = fii ì\ -\-a<,r 2 -j-(a 8 — «i — 



con coefficienti tutti positivi : con che è manifesto trattarsi di un sistema 

 riducibile, contenente un multiplo delle sezioni piane, e solo virtualmente di 

 grado zero. Il risultato permane anche se ai od a 2 fosse nullo. 



Per una curva irriducibile, fra i tre coefficienti della (5), ve ne sarà 

 dunque sempre uno, e uno solo, negativo; e questo sarà uno fra i primi due. 

 Quest'uno sarà inoltre, in valor assoluto, maggiore del terzo; poiché, se fosse 

 negativo ad es. il primo, indicati i coefficienti con — a x (negativo), a 2 , a s 

 (positivi, e « 2 eventualmente anche nullo), nell'ipotesi a 3 S. a x , la (5) po- 

 trebbe scriversi 



«i (C — YÙ + a i fi + («3 — a x ) C = «i ri -f da Yz + («a — «i ) C 

 e si avrebbe di nuovo un sistema riducibile. 



