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Se il primo coefficiente della (5) (cioè hq* — Spq) è negativo, e supe- 

 riore in valore assoluto al terzo, si avrà 3pq — 5q 2 > 2pq ; e perciò, essendo q 

 positivo, p^>òq. Se invece le stesse condizioni sussistono pel secondo coeffi- 

 ciente, sarà 3pq — p % > 2pq , ossia p <Cq ■ 



Affinchè dunque la (5) (con opportuno coefficiente k) sìa una curva el- 

 littica effettiva e irriducibile, dovrà essere verificata, per p e q positivi, 

 una delle due diseguaglianze 



p > bq oppure p<iq . 



6. Le trasformazioni I , r l , r s costruite al n. 2 della Nota prec, mu- 

 tando la forma f in se stessa, e perciò ogni soluzione intera dell'equazione 

 f = in altra consimile, si rispecchiano in trasformazioni dei parametri 

 p , q , che è facile assegnare. 



Per l'involuzione I, ci riferiamo alle forinole {2 a) del num. bit., po- 

 nendo in esse, in luogo di x , y , s , i valori dati dalle (4). Si ha così 



x = k (òq 2 -|- Bpq) y' = k(p 2 -f- Spq ) &' = — k . 2pq , 



espressioni che differiscono dalle (4) solo per il cambiamento di segno di 

 uno (arbitrario) dei parametri p , q (e supporremo sia q , ritenendo invece 

 sempre p >. 0). L'involuzione l muta pertanto il parametro q in — q (la- 

 sciando invariato p). 



Similmente, dalle forinole (26), colla stessa sostituzione, ed eseguendo 

 alcune riduzioni, si ricava 



x' = k\ò{q ^-2pY— 3p(q +2p)\ //' = k \p ì — Sp(q -f- 2p)\ 

 2 — k.2p(q + 2p). 



La trasformazione r, mula il parametro q in q -\-2p (lasciando an- 

 ch'essa p invariato) 



In fine le forinole (2c) danno 



x , = k\òq* — 3(p + lQq)q\ y' = k { ( p + IO?) 2 - 6 (p + 10?) q | 



2 =k.2(p + 10?) q : 



vale a dire: La trasformai io ne ]r 2 muta p in p -\- 10?, lasciando invece 

 invariato q . 



Le operazioni [ , r t , Z% operano dunque sui parametri p e q mediante 

 le sostituzioni lineari: 



Ap'=p r \p'=P r |-P'=*P4-102 



j 4 = ' — q 1 ( q' = 2p+q 2 ) q = ? 



(M la particolare, dalla coppia p = 1 , g = 0, corrispondente (per fc = 1) al fascio 

 di cubiche | Y2 1 < si passa a p—l,q==2, onde x = 14 , y = — 5 , « =4, Curne è appunto 

 nella forinola che esprime y' a nella sostituzione (2i). 



