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il che, d'altronde, è inerente al fatto che il rapporto ^ può considerarsi 



come coordinata proiettiva sulla conica f—0- Sopra questa conica, la I 

 determina l'involuzione avente gli elementi doppi p = , q = l e p = 1 , 

 q = o (cioè i fasci \y x \ e |y 2 |), mentre r x e r 2 determinano proiettività pa- 

 raboliche cogli stessi due elementi, rispett., come doppi ( 1 ). 



7. Consideriamo ora sulla superficie F 4 un qualsiasi fascio di curve el- 

 littiche effettive, irriducibili, le quali corrisponderanno al tipo (5), con un 

 eventuale coefficiente k, e per certi valori interi di p e q, primi fra loro, 

 il primo dei quali può supporsi positivo. 



Se q è negativo, si applichi a tale fascio l'involuzione I; il fascio tras- 

 formato corrisponderà al medesimo valore dì p, e al valore eguale ed op- 

 posto al precedente, perciò positivo, di q . Si indichi con \ò\ questo nuovo 

 fascio, e eventualmente lo stesso fascio precedente, se il primitivo q era già 

 positivo. Per tale fascio \à\ s&rh p ^> 5q , oppure p<Cq- 



Nella prima ipotesi, si applichi a \S\ l'operazione rj 1 (inversa di r 2 ), 

 eventualmente più volte di seguito, finché, per la prima volta, la p corri- 

 spondente al nuovo fascio (la quale p percorrerà la progressione aritmetica 

 p — lOq, p — 20q , ...) risulti inferiore o eventualmente anche eguale a òq 

 (avvertendo che la q rimarrà frattanto invariata). Per questo nuovo fascio, 

 la p sarà certo compresa fra -f- hq e — 5^, incluso il primo limite, potendo 

 tuttavia essere positiva, negativa, o nulla; però quest'ultimo caso si presen- 

 terà solo se inizialmente q = 1 (se no i primitivi p e q non sarebbero stati 

 primi fra loro). Se detta p è negativa, si applichi ancora, a seguito, l'invo- 

 luzione I, rendendo per tal modo positiva la p. Essendo pertanto ora la p 

 positiva e <L òq , essn dovrà anche risultare necessariamente <C q (ultimo 

 enunciato del n. 5). 



A quest'ultimo fascio (se la suajO non è nulla), e così anche al fascio |<f| 

 di cui sopra, se per esso, anziché p~^>òq, è p<Cq, si applichi l'operazione 



( : ) Le trasformazioni Irrazionali (non cicliche) del tipo di T 1 e F 2 , aventi per tra- 

 iettorie le curve ellittiche di un fascio |/|, e costruite col procedimento Enriques appli- 

 cato al n. 2, //| della Nota prec, non possono lasciare invariato, sulla superficie di cui trat- 

 tasi, nessun altro sistema lineare di curve; perchè se no. sopra le y, i gruppi di punti 

 segnati da queste ultime curve verrebbero trasformati in gruppi equivalenti; e allora 

 anche i gruppi di punti che, per ipotesi, si erano supposti avere i rispettivi multipli 

 tutti incongrui (al n. 2 cit. erano A. + B -j- C ed M) più non sarebbero tali. Si tratta 

 dunque di operazioni che, nel campo ternario, non possono lasciare invariato nessun punto 

 ulteriore della conica f=0, all'infuori di quello che è immagine del fascio \y\; perchè, 

 se un altro punto unito vi fosse sopra / = 0, esso sarebbe anche razionale, e perciò im- 

 magine di un sistema lineare effettivo, di grado virtuale zero. Tali operazioni determinano 

 perciò necessariamente, sopra f= 0, sostituzioni paraboliche; e i gruppi che le contengono 

 sono, per conseguenza, « commensurabili » col gruppo modulare [^Klein-Fricke, Vorlesungen 

 ùl/er die Theorie der automorphen Funktionen, Bd. 1 (Leipzig 1897), pag. 518]. 



