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IY 1 (inversa di Z i), eventualmente più volte, finché la q corrispondente al 

 nuovo fascio, percorrendo la successione q — %p ,q — 4jo , ... , risulti per la 

 prima volta <.jo (mentre p stessa rimane invariata). L'ultima q sarà per- 

 tanto compresa fra ~\- p e — p; e se è negativa, la si renderà positiva ap- 

 plicando ancora, a seguito, l'involuzione I. Dopo di ciò la q sarà positiva 

 (o nulla) e ^-p; sarà perciò di nuovo p^>5q. E allora, se l'ultima q non 

 è nulla, si riprenderà da capo il procedimento. 



Poiché i numeri p e q vanno, alternativamente e gradatamente, dimi- 

 nuendo di valore assoluto, il procedimento avrà certo termine; e terminerà 

 quando uno di essi sarà ridotto a zero. Allora l'altro risulterà certamente 

 eguale all'unità (se no i primitivi p e q avrebbero avuto massimo comun 

 divisore >1); e il fascio corrispondente sarà |y,| oppure |y 2 |. 



Concludiamo: Qualunque fascio di curve ellittiche, effettive e irridu- 

 cibili, esistente sopra la superficie F 4 , si può ricavare da uno dei fasci 

 di cubiche \y x \ e |y 2 | con un prodotto di trasformazioni T , r, , r 2 . 



8. Riesce ora facile un ultimo passo, per accertare che il gruppo com- 

 plessivo delle trasformazioni birazionali di F 4 si può generare colle sole tre 

 operazioni sopra menzionate. 



Infatti, una qualsiasi trasformazione birazionale S della superficie F 4 

 muterà il fascio di cubiche in un certo fascio di curve ellittiche, effet- 

 tive e irriducili, \ó\. Applicando a \3\ una conveniente successione TI di 

 operazioni I , T x e r 2 (in conformità del num. prec), trasformeremo |<J| 

 stesso di nuovo in uno dei fasci di cubiche \y x \ e |y 2 | ! e supponiamo di averlo 

 trasformato in y x (vedremo anzi tosto che deve essere così). Il prodotto S./7 

 sarà pertanto una trasformazione che lascia fermo il fascio |y,|; esso dovrà 

 quindi mutare le y 2 in curve del tipo (5), con un eventuale coefficiente k, 

 le quali, al pari delle y 2 , incontrino le y, in 2 punti ; ciò che si esprime 

 colla relazione: 



k \ (òq* — Spq) -0 + (p 2 — Bpq) ■ 2 + 2pq • 3 \ == 2 



ossia ftp 2 = 1 , soddisfatta solo per k = p — 1 . Ora alle coppie (1 , q) cor- 

 rispondono, per q pari (positivo o negativo), i fasci ottenuti da |y 2 | appli- 

 cando q:2 volte l'operazione r x ; mentre per q = ì, e conseguentemente per 

 ogni valore dispari di q, si hanno sistemi riducibili (|y, — y 2 — J — G | 

 = I /i ~{~ r s I - e Sll °i trasformati). Applicando dunque ancora una conveniente 

 potenza (negativa o positiva) di F, , giungeremo a una trasformazione che 

 lascerà fermi entrambi i fasci di cubiche |y x | e |y 2 |; e questa, per quanto 

 è detto al n. 2, a) della Nota prec, non può essere che la I , oppure la 

 identità ('). 



(*) In altri termini, quest'ultimo ragionamento prova che ogni trasformazione bira- 

 z. onale di F 4 , la quale lasci invariato il fascio di cubiche \y 1 \, è un prodotto di opera- 

 zioni I e r t ; più particolarmente una potenza di r x , o il prodotto di una tale potenza 

 per I, secondo che sulle y x essa subordina una trasformazione di 2 a o di 1* specie. 



