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Non è possibile invece che dal fascio trasformato di mediante 

 la S, nasca, con un prodotto di operazioni I , T x e r 2 , il fascio |y,|, an- 

 ziché di nuovo perchè, in modo del tutto analogo, si giungerebbe al- 

 lora ad una trasformazione birazionale di F 4 la quale, anziché lasciare in- 

 variato ciascuno dei fasci [y^ e |y 2 |, li scamberebbe tra loro; e questo sap- 

 piamo che non è possibile ('). 



Pertanto: II gruppo (infinito, disco ntinuo) ( 2 j di tutte le trasforma- 

 zioni birasionali dell" superficie F 4 è generato dulie tre operazioni I , 

 T x e r 2 . 



È ovvio che, come operazioni generatrici di tale gruppo, si possono 

 prendere anche le tre involuzioni I , l r x e I • T 2 ; queste ultime due, come 

 venne incidentalmente osservato al n. 2, b) della Nota prec, consistono nella 

 proiezione doppia di ogni cubica y ì o rispett. y 2 dal punto tangenziale di 

 quello in cui essa si appoggia ad r 2 , o rispett. ad r x . 



Il gruppo anzidetto si rispecchia in un gruppo oloedricamente 

 isomorfo di sostituzioni lineari intere, di modulo 1 , della forma 

 /'= 4^' -)- Axy -f- 6xz -\- Qyz , generato dalle sostituzioni (2 a) , (2b) e (2 c) 

 della Nota prec. Quest'ultimo gruppo non è però il gruppo totale di tras- 

 formazioni lineari intere della forma f\ e nella Nota prec. vennero appunto 

 indicati due tipi di sostituzioni lineari contenute nel gruppo totale della 

 forma /, e che non sono immagini di trasformazioni birazionali sopra F 4 . 



(*_) In luogo della relazione kp 2 = 1 si troverebbe, nel caso attuale, hkq 2 = 1 , che 

 ammette l'unica soluzione k = 1/5 , q = 1. Alla coppia [p , 1 ) corrispondono, se p è mul- 

 tiplo di 10, il fascio \y x \ (p = 0) e i suoi trasformati mediante potenze di T 2 ; e, negli 

 altri casi, sistemi riducibili. Basla infatti verificailo per p compreso fra — 5 e +5; 

 perciò anche solo per 0<^p^=Lò; e in questi casi, essendo q — 1 , non è nè p<Zq, 

 lìè J9> hq . 



(-) E anzi impropriamente discontinuo, peichè in un intorno comunque piccolo di 

 un punto generico di F 4 (e più particolarmente sulle stesse curve y 1 e y 2 passanti per 

 tale punto) esistono punti distinti dal primo e ad esso equivalenti. 



Rendiconti. 1920. Voi. XXIX, 1° Sem. 



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