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Matematica. — Fondamenti della geometria proiettivo-diffe- 

 renziale di una superficie. Nota I del Corrisp. Guido Fubini C). 



1. La geometria differenziale classica studia le proprietà differenziali di 

 una superficie invarianti per il gruppo dei movimenti', scopo di questo la- 

 voro è di porre i fondamenti analitici della geometria differenziale di una 

 superficie rispetto al gruppo proiettivo. E in una Nota, in corso di stampa 

 negli Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, se ne daranno le 

 prime applicazioni geometriche. Già in precedenti ricerche ( 2 ) mi ero occu- 

 pato di questo problema, e avevo provato che l' ufficio compiuto per la geo- 

 metria differenziale metrica di una superficie dalle forme di Gauss veniva 

 nel caso proiettivo compiuto da altre forme differenziali. Queste o si pote- 

 vano ridurre ad una sola ai differenziali terzi, o, molto più semplicemente, 

 si potevano ridurre a un sistema di tre forme nei differenziali primi. Le 

 prime due, una quadratica ed una cubica, corrispondono &\Y elemento lineare, 

 ed erano da me definite quasi sempre soltauto a meno di un fattore ; quanto 

 alla terza forma, anch'essa quadratica, io ero riuscito soltauto a scriverla in 

 coordinate assintoticlie (cioè supponendo assintotiche le linee coordinate). 



Normalizzare ( 3 ) le prime due forme {elemento lineare proiettivo), nor- 

 mare le coordinate omogenee di un punto della superficie, così da ridurre 

 la teoria ad una semplicità insperata; trovare tutte le relazioni tra le nostre 

 forme, e le coordinate omogenee normalizzate nel sistema più generale di coor- 

 dinate curvilinee u = u l e v = u 2 : ecco lo scopo della presente ricerca. Da 

 questa tra l'altro apparirà che su una superficie si può definire una geom. 

 metrica (avente le assintotiche per linee di lunghezza nulla), che è inva- 

 riante per collineazioni. e di cui (loc. cit.) vedremo applicazioni geometriche. 

 Restano sistematicamente escluse le superficie sviluppabili, e quasi sempre 

 anche le rigate, per cui la teoria è molto più semplice. 



( l ) Pervenuta all'Accademia il 1° luglio 1918. 



( a ) Definizione proiettivo-differenziale di una superficie (Atti della R. Accademia 

 delle Scienze di Torino 1914, voi. 49). Citerò questa Meni, con T. — ■ Invarianti proiet- 

 tivo differenziali, ecc. (Annali di Matem., 25, Ser. 3*). Citerò questa Mem. con A. — 

 Applicabilità proiettiva di due superficie (Rendic. del Gire. Matem. di Palermo, 1916, 

 tomo 41). Citerò questa Meni, con P. — Una ulteriore Nota di argomento affine. Su al- 

 cune congruenze W ecc., pubblicata nei Rend. della R. Acc. dei Lincei, non sarà citata 

 nella presente Nota. 



( 3 ) Se più quantità sono definite a meno di un fattore, diremo normare o normaliz- 

 zare queste quantità la scelta opportuna di tale fattore. 



