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2. Preliminari analitici. — È indispensabile, per evitare molte diffi- 

 coltà, ricorrere ad alcuni algoritmi di calcolo differenziale assoluto, che in 

 parte credo nuovi. 



Se g è una forma quadratica non degenere nelle £ , rj , diremo che 

 un'altra forma xp n nelle f , 17 è coniugata di g , se, scritta la g sotto forma 

 di prodotto (af -f- #9) (/£ -f~ mi?), la forma i/>„ è del tipo A (a? -f- brj) n -}- 

 -f-/*(^f -j- mi?)", ove /l , ^ non dipendono da £ , rj Essa individua a sua 

 volta la forma xp„ = X (a$ -f- fa])" — p,(l£ -f- mr/)" . Se n = S , la t/> 3 è <?o- 

 niugata alla p , se ha lo Hessiano proporzionale a # ; la xp 3 è il covariante 

 cubico di ip 3 . 



Una forma (p n qualsiasi si può scrivere in uno e in un solo modo come 

 uguale a \p H -|-|<jp«_ 2 g , ove ip n è coniugata a g , e g>„- 2 è una forma di 

 grado n — 2. Diremo ìf) n il m/o, 9> n _ 2 il quoziente ottenuti dividendo (co- 

 variantemente) la tp n per p\ Dividendo di nuovo <p„_ 2 per </ e così conti- 

 nuando, si ha che ogni forma <p n si può scrivere nella forma 



(1) (f n = ip n + xp n - 2 g -j- ?// n _4 # 2 + V„- 6 ,9 3 + • ■ • 



ove le xp n sono coniugate alla . 



Queste locuzioni si conserveranno anche per forme differenziali, quando 

 sia §=du, rj = dv , g = a^du 2 -\- 2 a 12 du dv a 22 dv* con A = a n a 22 — 

 — a\i =]= . Porremo u == »] , w = w 2 . 



Se a; è una funzione di indicheremo le de- 



rivate covarianti della # rispetto alla forma g . Con cc (r) == A rl X\ -f- A r2 x t 

 (ove A rs è il complemento, diviso per A, del termine a rs ) indichiamo le 

 così dette derivate prime controvarianti della x. Formano pure sistemi con- 

 trovarianti le seguenti espressioni, che chiameremo pertanto differenziali 

 controvarianti : 



óui — dui ; ó 2 Ui = d 2 Ui -f- 2 ( ? ? ) du r du s 



Ó 3 Ui = d (Ó* Ui) -j- 2 ( / ) d u r ^ Us 



dove con ( '?J sono indicati i simboli di Christoffel di seconda specie per 

 la forma g. Per ogni funzione x delle u,v è poi: 



(3) d 2 x = 2 ^ 2 + D 2 ,t ove D 2 x = du r du s 



r,s 



(3) 6(s a! 3 x = J 3 M r -j-32 'Y s dw r (Fw s -f- D 3 ,£ ove D ì x = ^ i x rs tdu r du s du t . 



r,s,t 



i 1 ) Ciò si può enunciare (Segre) dicendo anche che i punti, per cui rp n = 0, sono 

 trasformati l'uno nell'altro da una proietti vita ciclica di ordine n, che lascia fìssi i due 

 punti (distinti per ipotesi) in cui la g è nulla. 



