— lo — 



Ricordando poi che 



,4) i log ,/A =[(») + ( ' 2 2 )] * + [(? ) + ( \ 2 )] dv 

 si trova che 



(5) d [J/A (du ó 2 v — dv S*u)~] = \/k (du d 3 v — dv <Pu) 



Diremo intrinseca un'espressione, il cui significato è indipendente dalla 

 particolare scelta delle linee coordinate u , v; tali sono le quantità che figu- 

 rano nei due membri di (4); tali sono ~0%x , D3CC 1 ecc. 



Se g ha coefticienti costanti, le derivate covarianti e i differenziali 

 controvarianti si riducono alle derivate e ai differenziali ordinarli. 



Se b rs formano un sistema covariante, e b rst ne è il sistema derivato 

 covariante, allora (anche se b rtt non è simmetrico) la forma ^b rsl du r du„du t 

 si dirà la derivata covariante di <p =s^b rs du r du s , e si indicherà con ócp. 

 Vale l'identità: 



(6) dg> — S(f = 2 2 b rs du r d 2 u s . 



3. Elemento lineare proiettivo di dna superficie. — Con x \y , 

 S , t indicheremo coordinato omogenee di un suo punto, con g la precedente 

 forma quadratica scelta ad arbitrio. Con (x ) indicherò il de- 



terminante, la cui prima riga è formata dalle quantità scritte in parentesi, 

 e le altre tre 'righe se ne deducono sostituendo y ,g ,t alla x . Con nota- 

 zioni analoghe indichiamo determinanti analoghi. Sono intrinseche le forme 



(7) Fj = -7= (x , X x , X t , d 2 x) = — Lr (x , Xi , Xt , D 2 x) 



yk \/k 



(8) <t> 3 = —= [x , a?i , x 2 , d 3 x) = 



yk 



3 1 



= —= (a; , x x , x s , 2 *" du r w s ) + -7= (x , a?, , x t , D 3 aj) 

 y A j/ A 



di cui la seconda ha l' inconveniente di contenere i differenziali secondi. Per 

 ovviare a questo, si osservi che in virtù della (6) 



2 



(9) dF 2 = -= (x , x, , a? 2 , 2 «n <* 2 «t) + ^F ? 



t/A 



donde, derivando effettivamente la (7) e ricordando (4), si trae: 



(10) ó¥ t = -L (x , x l , x 2 , D 3 x) — 



|/A 



— -7= (a; . dx , x u rfw -f- x l2 dv , -j- x tì dv), 



yk 



