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Se ne deduce che (indicato con V il discriminante di F t ) 



(11) 



icr — 



° A 



v 



è pure una forma intrinseca del primo ordine (e terzo grado). La F 2 = 

 definisce le assintotiche ; la F 3 = le linee di Darboux- Segre (cfr. i se- 

 guenti risultati con i miei lavori cit. , ove si dànno altri significati di F 3 ). 



Se alla forma g sostituiamo un'altra forma g' di discriminante A', 

 e se moltiplichiamo le coordinate omogenee per uno stesso fattore q = q{u,v). 



i/A 



le forme F 2 , F 3 restano moltiplicate per lo stesso fattore —= q 4 . 



La forma F 3 è coniugata ad F 2 (cioè ha lo Hessiano proporzionale 

 ad F 2 ) ( 1 ). Per normare in modo intrinseco le forme F 2 , F 3 (che abbiamo 

 ora riconosciuto determinate a meno di uno stesso fattore) poniamo (p r — XF r 

 per r = l , 2 , scegliendo l in modo che il discriminante di F 3 sia uguale 

 (a meno di un fattore numerico da prefissarsi a piacere) al cubo del di- 

 scriminante di F 2 . Le forme (p 2 ,<p 3 avranno anch'esse significato in- 

 trinseco. 



Vale poi il teorema (cfr. P) : Condizione necessaria e sufficiente affinchè 

 due superficie abbiano comuni le forme <$% , <p 3 è che esse siano proietti- 

 vamente applicabili. Cosicché Taver comuni le forme y> 2 , <p 3 è condizione 

 necessaria, ma non sufficiente affinchè le due superficie siano collineari. 

 In particolare: La geometria metrica definita su una superficie, quando 

 si assuma la forma g> 2 come elemento lineare, si conserva per trasfor- 

 mazioni proiettive (ed anche per deformazioni proiettive). 



Caso metrico. Supposto g = elemento lineare di Gauss, supposto 

 t = 1 ed x , y , z coordinate cartesiane ortogonali, F 2 = D du % -f- 2D' du dv -J- 

 -J~ D" dv 2 è la nota seconda forma di Gauss. Ricordando i ben noti valori 

 delle x rs , si deduce che l'ultimo termine della (10) è nullo. Poiché 

 V : A = K = curvatura totale, sarà così : 



i 1 ) Per dimostrare questo teorema si assumano coordinate assintotiche, e la a coeffic. 

 costanti. Sarà (x , x t ,x e , Xu) — {x , x, , x a , a? 92 ) = e quindi anche (x , Xi , Xu , X%ì) = 0. 

 Basterà provare per es. che il coefficiente di du" dv in F 3 è nullo, cioè che 



È facile riconoscere che : 



1 A' 



(x , Xì ,Xn , Xiì) — (x , ,c x , x, , x^-i) -f- — - (x , Xi , x t , Xu) = ; 



u 



eio che è ben evidente. 



