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(12) P 3 = — *TF S + | P, log K ; 4> 3 = f dF 2 — ~ ÓF 2 = 



-|^ 2 + |p 3 -|p^logK 



in perfetto accordo con le formole di loc. cit. 



Gaso proiettivo. In questo caso è ovvio che la scelta più oppor- 

 tuna è data dalla y 2 = 9 , perchè <p 2 è invariante per collineasioni ; e 

 nomare poi le x , y , z , t in guisa che ne risulti F 2 — <p 2 . Cosicché SF 2 = 

 (perchè derivata covariante di F 2 rispetto a se stessa). Chiameremo normali 

 le coordinate omogenee così nomiate; esse nella geometria proiettiva ten- 

 gono il luogo delle coordinate cartesiane nella geometria metrica. Le coor- 

 dinate normali di punti omologhi di due superficie collineari sono sempre 

 legate da una trasformazione lineare intera a coefficienti costanti, a deter- 

 minate unità. Ricordando che V = A, che óF 2 = 0, si deduce che in coor- 

 dinate normali valgono le formole seguenti di massima semplicità: 



(13) w 2 = —= (x , x x , -v t , D 2 a) = — L= (x , x x , x 2 , d 2 x) 



j/v j/v 



2 



(14) 5p 3 ==— = (a; , os, , aj 2 , D 3 «2?) ; 2<J> 3 = 3 d<p 2 -f- <p 3 ; V = discrim. di y t . 



f/V 



Indicheremo con H il discriminante dell'elemento lineare, con N il rap- 

 porto di <p 2 alla seconda forma di Gauss; il rapporto dei valori di 

 (x , x x , x% , d % x) secondo che si usino coordinate normali o cartesiane vale 



pertanto ~ (se F 2 è la seconda forma di Gauss) cioè vale N 2 |/K. 



Le coordinate normali si ottengono perciò moltiplicando le coordi- 

 nate cartesiane x , y , z , 1 per q , ove q 2 = N f/K . 



4. Per completare questi studi, è necessario premettere alcune altre 

 nozioni analitiche. Indichiamo con g> 2 , <p 3 due forme coniugate covarianti, 

 una quadratica, una cubica. Se x Ut) , ce " sono le derivate controvarianti 

 di x(u,v), la forma polare quadratica — 2F 2 X) di x lu) , x lvì rispetto a (p 3 

 è una forma covariante (che ora calcoleremo insieme alle forme seguenti in 

 un caso notevole). Dividendo <% 3 per </> 2 si trovi óg> 3 = — 2q> 4 f- 3<p 2 # 2 

 (con y 4 coniugata di <p 2 ) ; sia la forma (univocamente determinata) del 

 primo ordine tale che g 4 — g>i<p 3 sia divisibile per <p 2 . Le forme <p x , g 2 , y> 4 

 saranno nuove forme covarianti. Un'altra forma covariante 2g 3 è la derivata 

 covariante del prodotto Ottenuto moltiplicando g> 2 per la sua curvatura ; è 

 pure covariante il resto r 2 ottenuto dividendo per <p 2 la forma ì <p\ -\- 3(p x . 

 Infine, se t 2 è una nuova forma quadratica covariante coniugata di g> 2 , il 

 resto R; ottenuto dividendo per g la forma ót? -\- 2g>i t t è una nuova forma 



