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per x vettore arbitrario. Inoltre, moltiplicando a destra ed a sinistra la [1] 

 per KA , ovvero Kv per A , essendo X . KX = KA . A = 1 , si ha : 



[4] A.Kr.A = r , KX.v.KX ="Kv , 



le quali possono ancora scriversi sotto la forma: 



[4'] X.Kv = r.KX , KX.v = Kv.X; 



e siccome in ognuna di queste i due membri sono coniugati l'uno dell'altro, 

 ne segue che X.Kv e KX.v sono dilatazioni. 



2. Qualunque sia il vettore x, applicando le (1), (2) alle due sue 

 componenti (normale e tangenziale) x X N . N , x' — x X N . N e sommando, 

 per la [2], il teorema di commutazione ed (.4. V., I, pag. 43 [2]), si ha 



tì.x = xXN.i'dP — H(i>x , N,) dP = H(N , vdP) x — H(K> dP , N ) x', 

 da cui : 



[5] dX = H(N , v dP) — H(Kv dP , No) = vH(N , d?) — R(dP 9 , N.) v , 



Da questa, per la (1) e l'analoga (1) , si ha pure subito: 



[6] dX = dX. H(N , N) -i- H(N , N ) . dX = H(N , dAN) + H(KdAN» , N.) . 



L'omografia dX , come somma di due diadi, è degenere, cioè I t dX = 0, 

 mentre I 2 c£A si ha subito da una nota formula (A. V., II, pag. 136 [12]); 

 per lidX dalla [6] si ottieue {A. V., I, pag. 28 [3] e pag. 32) 



I, dX = N X dX N + No X dKX . N, = N X dKX N + AN X dKX . AN = 



= N X (dKX .KX.X + KX. dKX . X) N = N X dKX*N Q = N X dA*N , 



mentre dalla [5] si ricava similmente 



I, dX = N X (v — K/ . Kv . X) dP= N X (1 — KA*) vdP ; 



e quindi: 



[7] I 1 rfA = N XrfA«N = NX(l — KX*)vdP, 



[8] UdX = (SAKvdP )X(SóAvdP), l 3 dX = Q. 



3. Dalla [5] per le (b), (b ) e [4] si ricava (A. V., I, pag. 43 [2]j 

 pag. 28 [3]) 



dX . KX = H(AN , v dP) — H(A . Kv . XdP , N ) = 

 = H(N ,vdP) — KH(N ,vdP) = 2 [VH(N , vdPJ] A = (N ArrfP)A, 



ed operando a destra con X, si ha: 



[9] dX = (S AvdP)AX , dKA = — (N A Kv dP ) A KA . 



