che se ne deduce sopprimendo i primi r termini, è sommabile (B , 1) ed ha 

 per somma u(z) — u — Ui s — u r -i s r ~ l ; sicché si può scrivere 



(20) u(z) — tt„ U\ z w r _! z r ~ l = u r ? -f- u r+l 5 r * 1 -j , 



da cui 



(21) — [u(g) — Uo — UiZ U r -i * r_1 ] = U r Z + U r +i Z 2 -\ 



& 



La serie del secondo membro è sommabile (B , 1) , come la (20) (N, 

 n. 3, II), e la sua somma è zero per z = ed è rappresentata dal primo 

 membro per z =j= . 



Poiché la serie (21) è sommabile (B , 1) nel punto z =4= considerato 

 di p, è ben certo che il raggio della sua stella di sommabilità (B , 1) gia- 

 cente su p non è nullo; e ciò permette di asserire (') che la sua somma, 

 considerata come funzione di z nel campo Lineare costituito dal raggio 

 stesso, è funzione continua nel punto z = . Dunque si ha su p 



lim — ■ [».(*) — u — Uii — U r -i * r-1 ] = 



*=o z 



per ogni intero positivo r, ossia si ha la (l!)) (per definizione). 



10. È noto che le serie asintotiche di Poincaré si possono integrare 

 termine a termine, ma non sempre si possono derivare termine a termine. 

 Però è facile vedere che nel nostro caso ciò è lecito. 



Precisamente: sotto le ipotesi fatte nel teorema precedente, le deri- 

 vate successive u'(z) , u"(z) , . . . di u(z) , prese secondo la semiretta p , sono 

 rappresentate asintoticamente sopra p ed intorno ad dalle serie che si 

 ottengono derivando successivamente la (1) termine a termine. 



Dimostriamo p. es. che 



(22) u\z) ~ u x + 2u 2 2 + Su s s* -\ 



Infatti le stelle di sommabilità della serie (22) coincidono con quelle 

 della (1) ( 2 ), quindi le ipotesi fatte sulla (l)-sono soddisfatte anche dalla (22), 

 la quale perciò (teor. prec.) rappresenta asintoticamente su p ed intorno 

 ad quella funzione che è somma della serie stessa sommata col metodo 

 di Borei generalizzato. Ma tal somma è ( 3 ) la derivata u'(z) di u(z) presa 

 secondo la semiretta p; dunque la (22) sussiste. 



(') Cfr. il n. 22 del mio lavoro: Le serie di potenze di una variabile sommate col 

 metodo di Borei generalizzato (Atti delhi K. Accad. delle Scienze di Torino, voi. LUI, 

 Nota I a pag. 135 e Nota II, a pag. 192). 



( 2 ) Ibid., n. 23. 



( a ) Ibidem. 



Bemjìconti. 1918, Voi. XXV11. 2° Srm. 4 



