11. I risultati dei nn. 9 e 10 valgono in particolare: se sulla semi- 

 retta p il raggio OT della stella t, ove la (1) è sommabile Bt (n. 3), 

 non è nullo. Poiché OT è limite inferiore dei raggi (18). 



Più particolarmente ancora, valgono: se esiste un numero positivo l 

 tale che per ogni intero r la funzione di b 



e- lb u {r) {be* ,1) , 



ove 6 è T inclinazione di p sul semiasse reale positivo, sia limitata 

 per ( 1 ). 



Infatti in tal caso esiste un numero positivo K (dipendente da r) 

 tale che 



(23) \u lr) (be* , 1)|<K« J6 (b > 0) 



Ora in un punto s = Qe iò di p (q=4t 0) si ha (come al n. 6) 

 u lr > (a , z) mm z r u ir) (az y ì) = Q r e rih u lr) (a^e* , 1) , 



quindi, posto aq = b {a 2l 0) , si ha 

 e~ a | w (r) (a,*) \da = f- 1 er*'9 | u irì (be iò , 1) | db < f- 1 K**"- 1 ^» db . 



Poiché l'integrale di e 6 "- 1 /?' tra i limiti e -f~ oo è convergente se 

 q < l/l , tale è pure l' integrale di e~ a \ u lrì (a ,z) [ tra i limiti Oe + oo; 

 quindi l' integrale (3) è convergente (ed assolutamente) per ogni r in tutti 

 i punti z di p il cui modulo è minore di l/l; sicché in questi punti la (1) 

 è sommabile Bt, e quindi su p è OT^>0. 



12. Osserviamo per finire che tutta la teoria svolta fin qui (nelle due 

 Note citate al n. 10 e nelle presenti tre Note), sulle serie di potenze som- 

 mate col metodo Bg , è suscettibile di una larga estensione. 



Affinchè una serie qualunque u, -f- u x -f- «. -f- ■ •■ sia sommabile B^, 

 si richiede anzitutto che le serie associate 



oo ~.n 



(24) y u n +r -, (u n+r =0 se n + r < 0) 



siano trascendenti intere. Ora questa condizione, per la quale molte serie 

 notevoli sfuggono alla sommabilità, può essere sostituita dalla seguente, 

 molto meno restrittiva : G) le serie (24) abbiano il comune raggio di con- 

 vergenza non nullo e definiscano funzioni analitiche w tr) (x) proseguibili 



(') E quindi anche: se esiste un />0 tale che, per ogni intero r, risulti 



lini e - ' 6 M< r > , 1)=0. 

 b = -i- oo 



Solo in questo caso particolarissimo i nostri risultati erano già noti. Cfr. Broinwich, 

 loc. cit. (nella Nota I), nn. 136 e 137. 



