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On démontrera aussi que l'on a 



avec 



(n + l)(» + 2). ..(» + & + !) 



P 2 étant un polyn6me en n de degré inférieur ou égal à q . 



2. Cherchons, plus généralement, la forme des fonctions données par 

 les formules 



(3) fn{t) = t»X(t)+ Kit, i)dr, (« = 0,1,. ..,oo), 



où l'on suppose X et K(t , t) holoiuorphes autour de l'origine. 

 En posant 



X{t) = l + f d q t« 

 i * 



' 



il vient 



m -r+ v + Z t (M+ /;V + 1) ) • 



Donc 



(4.\ /■ //\ _ /« I y /n+ 3 +l -li-i' 



W fnKl) ti.,' (»+p+l)(«+p + 2)...(» + P H- fl r + l) 



P 9 (w) étant un polynome de degré (q -\- 1) au plus. 



En nommant B q (n) le coefficient de i n+ i +x dans on constate qu'il 



est possible de déterminer des constantes M et R de facon que 



(5) |B ff («)|<-j|; 



Inversement, des fonctions f n (t) données par les formules (4) avec les iné- 

 galités (5) peuvent toujours se mettre sous la forme (3), l et K étant holo- 

 morphes autour de l'origine. On a d'ailleurs 



. X{t) = lim f n {t) . " 



«=00 



Les déyeloppement en serie d'une fonction arbitraire suivant les fonc- 

 tions f n (L) s'étudieront comme je l'ai déja indiqué dans des cas analogues. 



