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tura assai semplice, la cui soluzione generale non comporta altra arbitra- 

 rietà che quella che è rappresentata dall'arbitrarietà della scelta delie va- 

 riabili indipendenti. 



Ogni V 3 che ammetta una terna ortogonale a rotazioni costanti ne am- 

 mette una triplice infinità, e cioè tutte quelle, che da una di essa si traggono 

 mediante una arbitraria sostituzione ortogonale a coefficienti costanti. Tra 

 tutte occupano però un posto speciale quelle (in generale una sola) che ho 

 chiamate ierm principali di 2 a specie, la cui proprietà caratteristica con- 

 siste in ciò, che per ogni punto P della varietà e per ogni congruenza xp% 

 della terna sono eguali le proiezioni sulla tangente alla sua linea passante 

 per P delle curvature geodetiche delle linee delle congruenze tp h+ì e tyh+t 

 passanti per lo stesso punto. Così le nove rotazioni spettanti ad una terna 

 principale di 2 a specie si possono esprimere mediante sei sole costanti, e 

 queste possono essere ripartite tra le tre congruenze assegnandone a ciascuna 

 due e precisamente ad ogni congruenza ip h la sua anormalità a h e la proie- 

 zione ó h sulla tangente alla sua linea uscente da un punto qualunque P 

 della curvatura geodetica della linea uscente dal medesimo punto e appar- 

 tenente all'una o all'altra delle congruenze xp h +, e xfJh+2- Di più si ha che: 

 « Per ogni congruenza di una terna principale di 2 a specie deve essere 

 * eguale a l'una o l'altra delle due costanti caratteristiche ad essa asse- 

 « gnate » . 



Dai diversi possibili modi di soddisfare a questa condizione segue una 

 ripartizione delle possibili terne principali di 2 a specie in quattro classi, 

 le quali però, per quanto riguarda la natura intrinseca delle varietà, a cui 

 esse appartengono, si riducono a tre sole essenzialmente distinte e caratte- 

 rizzate come segue : 



(a) cf, = ó 2 — J 3 = , 



(b) ai = a 2 = a 3 = , ò 3 ^> , 



(e) S ì = e? 2 = fx 3 = , a 2 > , <T 3 4= • 



Lo studio della classe (a) è stato esaurito nelle Note citate, nelle quali 

 e stato posto in evidenza come con riguardo ai valori delle caratteristiche 

 a x , a z , a 3 essa si scinda in tre sottoclassi distinte. Quello delle altre due 

 classi forma oggetto della presente Nota, e conduce alle seguenti conclusioni: 



1°. Le terne della classe (b) appartengono alle varietà a curvatura 

 costante negativa o nulla K = — Si J t - . Per esse risultano determinati in 

 ciascuna di tali varietà oo 3 sistemi coordinati ortogonali, i quali per K = 0, 

 coincidono coi sistemi cartesiani, mentre per K < ne costituiscono una 

 naturale e nota estensione. 



2*. Le terne della classe (<?) forniscono ancora delle speciali espres- 

 sioni per il <is 8 delle varietà a curvatura costante negativa K = — <? 3 , se è 



