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e le equazioni (A) e (B) assumono rispettivamente la forma: 



(B) Q . 



Il caso studiato nelle Note precedenti è quello, in cui le (B) sono sod- 

 disfatte perchè sono nulle tutte le ó h ed abbiamo già osservato che, per le 



(3) avendosi allora co h+lh+2 — t» ft _ 2ft+1 = , la terna principale di 2 a specie 

 è anche terna principale di l a specie. Ciò si verifica ancora e soltanto in 

 un altro caso, cioè se le (B) sono soddisfatte perchè sono nulle tutte le a h 

 e quindi tutte le Qh- Le (2) dànno allora 



ft»Wi = — 2i à\ 



e ci dicono che si tratta di varietà a curvatura costante negativa o nulla 



(4) K = -^. 

 Posto 



(5) H = ^ ài Xi + c 



(c costante arbitraria) si soddisfa in questo caso alle equazioni (A) assu- 

 mendo : 



cioè 



V» = -h • 



Si perviene così alla espressione 



, 2 dx\ -f- dx\ -j- dx% 



del ds' 1 delle V 3 a curvatura costante negativa o nulla. 



3. Esclusi i casi già considerati, possiamo supporre eguali a ó\ ed a 3 ; 

 dopo di che tra le equazioni (B) rimane da soddisfare soltanto la a 2 <Jj = 0. 

 Si osservi ora che la ipotesi che a 2 sia zero assieme ad a 3 ha per conse- 

 guenza Q t = q 3 — — Qi , e quindi la arbitraria orientazione della dupla 

 xff t , xp 3 nel proprio piano. Ed è pure facile riconoscere che questa orienta- 

 zione può essere determinata in modo che sia ó 2 = 0. 



Un altro solo caso essenzialmente distinto da quelli già considerati ci 

 rimane dunque da prendere in esame; quello, nel quale alle (B) si soddisfa 

 assumendo 



(6) ài = ó t = a 3 = ; 



nel quale la congruenza *p 3 risulta quindi insieme geodetica e normale. 



