(7) 



— 41 — 



Posto <J in luogo di <f s , le (2) e le (3) ci danno per questo caso 



11 = \ 2 ) -_a ' — * ' w « = ( 2 / ~~ a *~ à ' 



6,33 = \ 2 ) _< * » 



ft) 13 = co 31 = , o» 21 = (a t — or,) S . 



La equazione di 3° grado, che colle sue radici fornisce le curvatura 

 riemanniane principali della V 3 , si scinde poi nelle due equazioni : 



co* -j- (t» M -f- (Wjj) (O -j- »n w ss — <wf 2 = 

 ta = o>j3 . 



Posto 



(8) A = !t/(« 1 + a 2 )«+4^| 



abbiamo dunque per le dette curvature le espressioni 



, a 2 — a, /a, — a, \* 



mentre 



i <»! = A — 2tf* , w, = A — 2o , 



(9) 



* — 2<J* 



sono quelle degli invarianti principali. 



a) Suppongasi dapprima a 2 = «! — a . La varietà sarà a curvatura 

 costante negativa K = — S l e si soddisfarà alle equazioni (A) assumendo 



ipx = dxi -j- — «ZGj) tia;» 

 t// 2 = dx<i -{- (ax'i -4- (fcc,) C^Tj 

 ^ 3 = dx 3 ; 



donde una nuova espressione pel ds* delle varietà a curvatura costante ne- 

 gativa. 



b) Sia 



<J* = — a, a 2 , 



