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dei tre invarianti principali, basta assumere per «j 3 quello, che è massimo 

 in valore assoluto, perchè dalle (10) risultino valori reali per a, , a 2 e S; 

 2°) che esistono Y 3 per le quali gli invarianti principali sono costanti 



purché tali che uno di essi, co,, sia positivo e gli altri due negativi e tali 



che siano verificate le disuguaglianze: 



ft), 4- « 2 



«1 + W 2 < , ft> 3 > g • 



Nell'un caso e nell'altro ai diversi sistemi di valori reali di a, , a 2 , (J, 

 che dalle (10) si traggono, dati quelli di ooi,a> 2 ,oo 3 , non corrispondono 

 varietà essenzialmente distinte; ma semplicemente lo scambio delle con- 

 gruenze ip! e ipz o l'inversione dei sensi positivi delle loro linee. 



La sostituzione ortogonale, per la quale si passa dalla terna principale 

 di 2 a a quella di l a specie è anche in questo caso una sostituzione binaria A 

 da eseguire sopra i/>, e essendo 



e valendo il segno superiore o l'inferiore, secondo che S è positiva o negativa. 



Per xpi , ip 2 e ip^ valgono ancora le stesse espressioni che nel caso (b). 



Delle congruenze principali di 1 a specie, in generale, è nomale la sola 

 t/>3=t/> 3 , che è pure geodetica. Le altre due xp[ e xp' 2 sono o non sono 

 normali insieme; e sono normali soltanto se è a 2 -f-a, = 0. In questo 

 caso gli invarianti principali hanno le espressioni 



w, = — 2cT(«, + S) , <» 2 = 2à{a l — S) , w 3 = — 2(a* + J*) . 

 Le curvature principali sono invece 



«li = — (ai — S) 2 , &4 = — («i + <*) 2 i «33 = «i — » 



donde 



r« r f 



fó 33 = ft'll ^22 • 



Si tratta dunque di quelle varietà normali di Bianchi, per le quali una 

 curvatura principale è media geometrica delle altre due. 



In fine osserviamo che dalle espressioni trovate per ifj 1 , ip 2 , ip 3 nei 

 singoli casi risultano per il ds 2 delle varietà considerate in questo paragrafo 

 delle espressioni, che si possono tutte comprendere nella seguente: 



ds 2 = da] + dal + da* + J (oj + S 2 ) «* + (a* + <J ! ) ss» + 



-f- 2S(a 1 — a 2 ) ^! £c 2 { dx\ -\- 

 -f- 2 | (Sai — ai a t ) dx x + (Sx t + a t ai) dx 2 j cfo 3 ; 



