e che 



dx t = dx s = ; dxi = dx 3 = ; 

 dx l -f- {3xi — a, x 2 ) dx 3 = , dx t -j- (<te t + #1) ^3 = 



sono le equazioni delle congruenze principali di 2 a specie; e 



sin dx x -f- cos 6 d:r 2 = , rf&s = ; 

 cos 8 dxi — sin 6 dx 2 = , dx 3 = ; 

 dxi -f- (àxi — <x x x 2 ) dx 3 = . rf# 2 -\- (óx 2 -\- a 2 5Ci) óx 3 = 



quelle delle congruenze principali di l a specie. 



Matematica. — Fondamenti di geometria 'proiettivo- differen- 

 ziale di una superfìcie (*). Nota II del Corrisp. Guido Fubini ( 2 ). 



6. Studio proiettivo di S. — Dal nostro punto di vista è natural- 

 mente opportuno porre g = g> 2 , che è invariante per collineazioni, ed usare 

 coordinate normali. Si trova, essendo F 2 = g% , ecc., e indicato con S p il 

 valore corrispondente di S 



(24) S p = (- 4 S M = N'|/KS m 



(25) S p = — d [j/v (du dH — do g> 2 + 



-f- |/v (rftt <J*t' — dv ó*u) (| rfg> 2 + 93 ) + (# . Da; , D 2 ^ , D 3 x) 



ove i simboli 6 % , D sono relativi alla y 2 [e non all'elemento lineare di 

 Gauss, come in (22) Ms ]. Le (23) , (24) danno il significato metrico di S p . 

 Una superfìcie essendo completamente determinata (a meno di collineazioni) da 

 S p , si trae da (25): Una superficie è completamente determinata nel gruppo 

 proiettivo dalle tre forme <p 2 , 933 , (x . Dx , D 2 x , D 3 x) (la seconda delle 

 quali, come risulterà da quanto segue, è perfettamente determinata dalle 

 altre due). Dividendo covariantemente la terza per la prima si abbia: 



(x , Da; , D 2 a; , D 3 x) = V'e + V>« SP* + V* $ + ^° $ ^ n coniu g ate a SP*)- 



Proveremo che : La forma tp è identicamente nulla ; le forme ì/> 4 > V« 

 sono completamente determinate dalle <p 2 , <p z (anzi xp & è il prodotto di g> 3 

 per il suo covariante cubico 953). Ne risulterà così provato : 



Date le forme cp 2 , 953 , una superficie è completamente determinata 

 nel gruppo proiettivo dalla sola forma quadratica Tf> 2 , anch'essa coniu- 



(') Cfr. la Nota I a pag. 11 di questi Rendiconti 

 f) Pervenuta all'Accademia il 1° luglio 1918. 



