gaia della g> t . Dato il carattere intrinseco dei nostri studi, noi potremo, 

 per provare il nostro teorema, scegliere ad arbitrio le u , v , e p. es. adot- 

 tare coordinate assintotiche. 



Scriviamo anzitutto le equazioni, cui soddisfano in tale caso le coordi- 

 nate normali. Il modo più rapido (ma non proiettivo) di ottenerle è quello 

 di servirsi delle equazioni 



ve io , „ id do ìO 



— - — a — 4-0 — — — = v — 4- e — 

 , @ , y , e = valori di |^ • , j^jj- , j^j , |"^| per l'elemento lineare | 



a cui soddisfano le coordinate cartesiane ti nel caso che u , v siano assinto- 

 tiche. Sarà (cfr. A): 



ffy 



<p t -- 2/Sy du dv e quindi N = gff ; y 3 = 1§y (fi du* -j- y rfy 3 ) . 



Dalla e 2 = N^K, dalle equazioni di Gauss e Codazzi, si trae 



2 — = y- log (/iy) — a e 2 = ^ log (fiy) — * . Quindi ^ , e qO , cioè 

 le coordinate normali soddisfano alle 



(26) Xn — fix z ~\- nx x t2 = yxi -j- vx 



(ove x rs sono derivate covarianti) e dove : 



-(«*-i- , )+«+«T i / 2! è s 



(27) bu v si deduce da n scambiando fi con y, u con y, « con e. 



Derivando cov ari antemente le (26) si deducono le x , Da; , D s ;r , D s a; 

 come combinazioni lineari delle ai , £Ej , a; 2 , sj 12 . Quindi (a; , Dx , D 2 :r , D 3 x) 

 vale il prodotto di (x , Xi , x 2 , x l2 ) = fi 2 y 2 per il determinante dei coeffi- 

 cienti di queste combinazioni lineari. Si trova così: 



(28) (x , Da , T>zX , D 3 x) = g> a9s -\- 2 fiy du dv X 



1 _ 

 — - (2 fiy du dv)* ip t , 



ove 



X [>y 2^LM du < _ §f iMll dv < 

 , ' |_ ~òu 



/ 3 Mog(ff l y\ 7 2 , / .3 Dlog/?y 8 \ , 

 = {* + 2Ì -T V — ) du +[ v + 2* ~u) dV 



