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Mancando nella penultima formola un termine du 3 dv 3 . è tp = 0. Il 

 coefficiente xp 4 di g> 2 = 2@y du dv si deduce col metodo dato al § 2 dalla 

 forma g> 4 , dedotta [cfr. la (15)] dalle </> 2 ,<p 3 : ed è perciò determinato dalle 

 (f t , q> 3 , come avevamo enunciato. In altre parole ifj t si deduce dalle <p t , y s 

 come la <p A si deduce da </> 2 , 9>r [essendo Tp 3 il covariante cubico di </> 3 ] . 



Date le forme (p 2 , y> 3 sono determinate le g 2 , r 2 (§ 4); si può quindi, 

 invece di dare la forma ip 2 , dare una qualsiasi delle forme f t = if) t — \g r 

 e t ì = 2f 2 — Ai che in coordinate assintotiche valgono 



(29) f 2 =ìp 2 — | g 2 =ndu ì -\- v dv 1 



(30) / 2 = 2 ^ — r 2 = mdu % + /< dt>« 

 ove 



Ti» log — <) log — 



(31) B= __i_^^r L _ J 



— K -1 «•) + (/». +» 



(31) bi S j« si deduce da scambiando /S con y, a con e, w con u. 



7. Come si determina dna sdperficie, per cui sono date le 

 forme 9> 2 , 9> 3 , xpz ? (Invece di i// 2 è indifferente dare / 2 oppure t t ). ■ — Si 

 può, p. es., costruire (§ 6) la forma S, risolvere la S = 0; ottenuta così 

 l'equazione delle sezioni piane, si può (cfr. T) risalire alle equazioni para- 

 metriche della superficie. 



Ma, molto più semplicemente, si possono cercare direttamente le coor- 

 dinate normali di un punto della superficie. La equazioni (26) dicono che, 

 almeno in coordinate assintotiche, 



D 2 x = Pf + xfz -f- 2x l2 du dv 



cioè che T>ìX — Pif — xf 2 è proporzionale a tp 2 (ossia che Pf-J-x/g è il 

 resto ottenuto dividendo covariantemente Df per g> 2 ). Questa proprietà è in- 

 trinseca, e, essendo stata provata in coordinate assintotiche, vale in gene- 

 rale e dà in ogni caso le equazioni differenziali per le coordinate nor- 

 mali. (Nel caso metrico D 2 ,# è proporzionale ad P 2 , se a è una coordinata 

 cartesiana, e D 2 è calcolato rispetto all'elemento lineare). Vi è dunque una 

 profonda analogia tra caso metrico e caso proiettivo. 



8. Condizioni di integrabilità. — Per trovare queste, che dànno 

 tutte le relazioni che devono intercedere tra le nostre forme g> 2 , <p 3 , f t (di 

 cui g> 3 ed f t coniugate a </■■,), si scrivono le condizioni di integrabilità 

 delle (26). Si trovano essere le 



<-^(^-m ! )+ 



(32) bl , l'equazione ottenuta scambiando /S con y, n con v, u con v. 



