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Tenuto conto di queste, l'ultima condizione di integrabilità si può 

 scrivere : 



(33) 2y' u m -f- ym' u = 2/S> -j- /?/*; . 



Le (32) e (32)<„-, provano in coordinate assintotiche il seguente teorema, 

 che, essendo di carattere intrinseco, vale dunque in generale (cfr. le nota- 

 zioni del § 4): 



Prima condizione di integrabilità è che 26 (xp t — g t ) — g t — | <p%<f x 

 sia coniugata di <p 2 . 



La (33) prova poi che: 



Seconda e ultima condizione di integrabilità è che la forma R« 

 dedotta da t z col metodo del § 4 sia proporzionale a g> 3 . 



9. Superficie proiettivamente applicabili. — Per studiare queste 

 classi di superficie, possiamo p. es. usare coordinate assintotiche ; e cercare 

 le superfìcie per cui 



<f>ì = 2/fy du dv 9> 3 = 2§y((idu ì -f- ydv 3 ) 



sono forme prefissate a priori. Assumiamo come incognite (anziché le n, v) le 



y» — y<** 



Le condizioni di integrabilità diventano: 

 (35) L; = — (2/Sy„ + Y mP) K = ~ (2tf„ + Y*P) 



(35 ) Ms fi M„ -f 2/?„ M + fivtv = Y L„ -f 2y u L - y uuu . 



Per studiare un tale sistema, si possono (Bianchi L.) assumere come 

 nuove incognite le 



p = l; q = M ;. 



Cosicché (35) bl -j è un'equazione lineare nelle quattro incognite L , M , P , Q. 

 Come condizione di integrabilità si trova un'altra equazione dello stesso tipo; 

 da cui, derivando rispetto u oppure rispetto v, se ne deducono altre due. 

 I calcoli si complicano in modo tale, che non mi è riuscito di dominarli. 

 Ci si può chiedere quando le forme <p 2 , g> 3 non determinano completamente 

 la superfìcie corrispondente, cioè quando questa si può deformare proiettiva- 

 mente in modo effettivo. In tale caso le (35) e (35) 6 ;, ammettono almeno 

 due sistemi di soluzioni L = L r , M = M r per r = 1 , 2 . La U = L, — L, 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 2° Sem. 7 



