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Meccanica. — Le formule del Cauchy e i fluidi viscosi. 

 Nota di Umberto Crudeli, presentata dal Socio T. Levi-Civita 



I. In un articolo sull'idrodinamica, comparso nella Kevue des Sciences (*), 

 Maurice Lévy si domandava se l'esistenza del potenziale di accelerazione, 

 sufficiente per la validità dei teoremi fondamentali di Helmholtz sui filetti 

 vorticosi, fosse anche necessaria per la medesima validità. La risposta fu 

 affermativa ( 3 ). 



(') Pervenuta all'Accademia il 10 luglio 1918. 



( a ) Revue générale des Sciences purcs et appliquées, 1890. pag. 724. L'articolo in 

 questione trovasi citato anche nel Traité de Mécanique rationelle di Appell (1909, 

 voi. Ili, pag. 336). 



( 3 ) Per mostrarlo, qualora si volessero adottare procedimenti analoghi a quelli usati 

 in note questioni d'idrodinamica da Cauchy e da Kirchhoff, si potrebbe procedere nel 

 modo che qui appresso diremo, dopo avere premesso la seguente osservazione. 



Si supponga che sussistano i teoremi fondamentali di Helmholtz. Rappresentiamo con 



da db^ dr 



h Vo ~~ ?o 



dx dy \_ dz 



le equazioni differenziali delle linee vorticose rispettivamente nell'istante iniziale t» e 

 nel generico istante f, intendendo che f , Vo > Co e f , t] , f rappresentino le componenti 

 del vortice rispettivamente nell'istante / e nell'istante t. Siano, inoltre, / e cr rispet- 

 tivamente la lunghezza e la sezione retta di un elemento di filetto vorticoso nell'istante t a 

 ed / e <r quelle corrispondenti nell'istante t. lutine, siano in corrispondenza del mede- 

 simo elemento, iì la grandezza del vortice nell'istante f ed Sì quella nell'istante t. 

 Avremo a t Sì — oSÌ. Ma, denotando con A il comune valore dei rapporti che figurano 

 nelle (« ) e con A quello corrispondente dei rapporti che figurano nelle (a), potremo 

 scrivere l = k Sìi, . l = XSÌ. Quindi avremo X al = X<s l . E, tenendo presente che 

 <r Z = ffn) (dove D rappresenta il ben noto determinante funzionale) sarà 



(«») 

 e con 

 («) 



(P) a,.= AD. 



Ora, osservando che 



dx — , dy = 'kr\ > dz = K < 



cioè 



. — da + ~r db + ~dc = kS, etc. . 

 Da r db 1 òc 



e che rfa = A f , db = 



k Vo ! dc = 'A Co, si perviene, ricordando, infine, la (jS), alle 



