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sono intrinseche (di significato indipendente dalla scelta delle Ui); data V n , 

 esse sono determinate a meno di uno stesso fattore (nel caso generale 

 si possono anche [loc. eit.] definire due forme $p 2 , 9>3 ad esse proporzionali 

 completamente determinate dalla V„). La coppia delle forme F 2 , F 3 compone 

 l'elemento lineare proiettivo di V n . Il primo dei problemi, cui è dedicata 

 questa Nota, è di riconoscere quando tale elemento lineare si riduce ad 

 una sola forma, cioè quando la F 2 oppure la F 3 è identicamente nulla. 

 Noi anzi studieremo un problema più generale, che ha senso anche nel 

 caso V = , ricercando quando è nulla F 2 , oppure quando A 3 è divisibile 

 per F 2 {ciò che avviene infatti se F 3 = 0). 



2. Scriviamo F 2 , A 3 in forma specialmente comoda supponendo x = 1 , 

 y = u ì , Z — u% ,...,'£ = u n , e la Y„ definita da un'equazione 



W =F= W (fti , Mg , ... , Un) ■ 



Le varietà Mj = cost. sono le intersezioni di Y n con un iperpiano y — UiX = O f 

 oppure 5 — u 2 x = 0, oppure ecc. Posto g = 2du), si trova 



1 



w, 



U 2 



U n 



io 







1 











Wi 











1 







w t 















1 



w n 



















2 w rs du r du s 



Analogamente si trova <P 3 — 2w rs t du r du s du t -j- 3 2w rs du r d^u, , da cui 

 A % — — 2w rs i du r du s du t . 



La F 2 è identicamente nulla, se le w f3 sono nulle, cioè se w è un 

 polinomio omogeneo di primo grado nelle 1 = x , u x = y , ... , u n = t , cioè 

 se V M è un iperpiano (com'era evidente a priori, perchè F 2 = definisce 

 le direzioni assintotiche). 



3. Premettiamo ora un'osservazione: Lungo una retta, che giaccia 

 su V H , sono nulle entrambe le ~F 2 ,A 3 . Infatti, senza ledere la generalità, 

 tale retta si può pensare definita dalle Ui = u t = ■ ■ ■ = u n -i — w = . 

 Perciò w e quindi anche w n , w n » , w nnn sono nulli per u x = u 2 = • • • = 

 — Mn _j = ; se ne deduce tosto che per m = dui=0 (i = 1 , 2 , ... , n — 1) 

 anche F 2 e A 3 sono nulli. TI teorema reciproco falso per n > 2 (come 

 proveremo più avanti con un esempio) è mero per n = 2; una linea di V„ , 

 se n = 2 , che annulli F 2 e A % è retta (con una lieve ulteriore condizione 

 che enunciamo più sotto). Una varietà V di V„ lungo cui F 2 = A 3 = 



