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soddisfa alla F 2 = cioè alla 2du>i dui = ed alla d¥ = 0, che, in virtù 

 della A 3 = 0, si può scrivere 2dwid 2 Ui = 



2dwi dui = 2 dwi d 2 iti = . 

 Se # = 2, queste due equazioni nelle dwi dànno due casi possibili: 



A) dui d 2 u 2 — du% d 2 u x = , cioè ~- ( < ~ \ = , ossia 7^ = C 



du x \aui 1 du x 



dio d^tc 

 = cost. Quindi j— = w x -j- w s ; 77 = + 2 Cic^ -(- C 8 w M = 0, in 



(lU\ dUi 



virtù dell'equazione F, = , cui soddisfa la C = 7^ . Quindi sia u 2 che w 



dui 



sono funzioni lineari di u x , e la curva considerata è retta. 



B) È invece dw x = dw 2 = , cioè w n c/mi -J- » I2 <a^ 2 = w 2X du x -(- 

 w ss dui = . Se w u w 22 — ^12=4=0, ne segue du x = = , cioè 



#,=0081. , u t = cost. Si tratterebbe ancora di una retta posta su V„; ma 

 questo caso di una retta Ui — cost. posta su V n è escluso dall' ipotesi che V n 

 si possa definire dando w in funzione di u x , u 2 . Dunque sulla linea consi- 

 derata è w xx w%i — w\ 2 = 0. La linea considerata è pertanto singolare, perchè 

 è una linea di punti parabolici di V M . Lungo essa è soddisfatta la 



F 2 . n du 2 , idUtV n . , du 2 , j. i- . 7 



-r-2 = w xx + 2w 12 \- io„ ~, — 1=0; anzi la — e radice doppia di tale 



au\ du x ' \du x ì du x 



equazione: ciò che enunceremo dicendo che F 2 si annulla del secondo or- 

 dine. Noi supporremo che anche A 3 si annulli almeno del secondo ordine ; 

 du 



cioè che — sia radice almeno doppia anche di A 3 = . In tal caso lungo 



CtH\ 



la nostra linea è 



d 2 u , 



du 



1 dUi\ w 12 ì W l2 l_ \ ic X2 ! \ w xì J 



La quantità tra [ ] è nulla purché — — - è radice doppia anche 



w x2 



d^ t/>2 dii 



di A 3 = Q; e pertanto — r-r = 0, cioè - — = C = cost., e la dim. continua 

 dui du x 



come nel caso A . 



4. Supponiamo infine A 3 divisibile per F 2 ed n qualsiasi. Seghiamo V n 

 con lo spazio lineare S 3 a tre dimensioni definito dalle 



(1) Ui = «jt> 1 -f- rji Vi (i= 1 , 2 , ... , n) 



(«i , i)i — cost. ; Vi, v t parametri) . 



La superficie V 2 intersezione avrà come forme FJ , A' 3 quelle che si ot- 

 tengono dalle F 2 , A 3 con la sostituzione (1); e quindi A' 3 sarà divisibile 



