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per Fg ; le linee di V t che annullano F t (assintotiche) annulleranno anche 

 almeno dello slesso ordine la forma A % , e quindi saranno rette. Se per ogni 

 punto di V 2 escono due assintotiche. V, sarà doppiamente rigata, e quindi 

 sarà una quadrica; se invece esce un'assintotica sola, la V 4 sarà una svi- 

 luppabile. Nel primo caso V n , essendo da un S 3 generico tagliata in una 

 quadrica, sarà pure una quadrica. Nel secondo caso la F 2 [diventando con 

 la sostituzione (1) e per tutti i valori delle s , r t una forma F 2 a discri- 

 minante nullo] sarà il quadrato di una forma lineare ¥ l =2<s i dui. Consi- 

 deriamo un punto di coordinate w,-, e un ponto consecutivo 0' di coordi- 

 nate Ui-\-dui tali che F, = . La direzione 00' sarà assintotica; un S, 

 che la contenga taglia V„ in una sviluppabile di cui 00' è generatrice ; 

 pertanto la retta 00' è tutta contenuta in V„ . Poiché F, è lineare, le 

 rette 00' generano un S„_! , posto sia su V„ che nell' iperpiano S„ tangente 

 in 0. E la V M si potrà pensare generata da oo 1 di tali S„_i ; se con t = y, , 

 te = y>(Vi) indichiamo la curva L in cui la V n taglia il piano (x = 1) 

 y = s = '- — t = 0, da ogni punto di L esce (almeno) un S„_, ; e V n si 

 potrà pensare definita da equazioni pararaetriche del tipo 



n n n 



x = l ; il == Y Vi tpniVi) ; z = ]T Vi ipf t (Vi) ; .... ; r = y v t xpi, n -i (fi) 



2 2 2 



n n 



t = Vi + y Vi V>.„(vi) ; w = g>(vi) 



2 2 



ove le ipK sono funzioni di «, (gli indici non indicano più derivate). 



Se la V„ non è essa stessa iperpiana, dalle equazioni per y , ... , t pos- 

 siamo ricavare le x\....,v n come funzioni lineari omogenee delle y,...,r. 

 Sostituendo nelle equazioni per few, troviamo: 



n n 



l = Ul -f- y a, tpi(ui) w = y(ui) -f- Y ui Xì(uì) 



2 2 



(Ui = Vi) y =s U% , Z = U3 , ... , t == u n 



come equazioni parametriche di V„, essendo y> , xpi , xì funzioni di u x . 



Posto g = 2dui z , la F2 con questi parametri u diventa rir (t' ul d*w — 

 — w'md 2 l); esprimendo che F 2 è un quadrato (cioè una forma del tipo 

 An dui), si trova: %' r = <p'*p'r {r — 2 , 3 , ... , n). Queste condizioni equi- 

 valgono, com'è facile riconoscere, all'una od all'altra delle seguenti propo- 

 sizioni (tra loro equivalenti) : 



A) Due S„_! consecutivi (cioè due S„_! corrispondenti ai valori m,, 

 oppure Ui -J- dui di u x ) si tagliano in un S„_ 2 . (Si noti che, se due tali S„_i 

 coincidessero sempre, la V n si ridurrebbe ad un S n _i : ciò che è impossibile). 



B) Due S„_i consecutivi appartengono ad un S n , che tocca V M in 

 tutti i punti del S„_, considerato. (È facile riconoscere che l'equazione di 



