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un S„ tangente dipende dal solo parametro u{). Perciò V n è l'inviluppo 

 di oo 1 iperpiani, o, come potremmo dire, è una sviluppabile di S„. Quindi: 

 Le sole ipersuperficie per cui l'elemento lineare si riduce ad una sola 

 forma, o per cui A % è divisibile per F 2 , sono gli iperpiani, le sviluppa- 

 bili, le quadriche. 



Osservazione. — Ne risulta subito che per n ]> 2 su V„ può esistere 

 una linea non retta che an 'tulli F 2 , A 3 : p. es. su una quadrica una linea 

 non retta che in ogni suo punto sia tangente ad una generatrice di V„ . 



5. Abbiamo qui dato un esempio, in cui dalle forme F 2 , F 3 si deduce 

 la V„ relativa; il metodo generale è però quello di studiare le equazioni 

 differenziali, che permettono di definire una ipersuperficie di forme date. 

 Nel loc. cit. io con metodo euristico ho trovato tali equazioni se n = 2, 

 oppure 3. Possiamo perciò prevedere il tipo generale di tali equazioni, e, 

 per provarle nel caso più generale, basterà verificarle. Ciò che ora noi fa- 

 remo. Determinate per una V„ le forme F 2 , F 3 , cambiamo la forma g, as- 

 sumendo g = F 2 ; e moltiplichiamo poi le coordinate omogenee x , y , ... , w 

 con un tale fattore, da controbilanciare il cambiamento della g, e da lasciar 

 immutate g = F 2 ed F 3 (loc. cit.). Posto 



Fo = 2a rs <iu r du s , F 3 = 2 2J rs i du r du s du t , 



indicati poi con indici le derivate covarianti rispetto F 2 e con À rs il com- 

 plemento algebrico di a rs in A = V diviso per A, si ha: 



F 2 = —= (x , Xi x„ . 2x r < du r dv s ) : 



t A 



F 3 = —p= (x , x'i , ... , x n , 2 x rs i du r du s du t ) = ^' B, r 



ove 



2 



(1) B,y = — == (X ,X 1 ,..., Xi-t . , Z Ul X r -ì , Pr , aV+i , ... .X n dx) 



y a 



ove la 2' è estesa a tutte le coppie i , r di indici con ?'< r e p r — S x rt du t . 



~7~ 



Poiché x rst — Xri s è funzione lineare delle x r , la — — (x,Xi , ... , x„, x rs t) 



J'A 



è simmetrica in r.s,t, e vale <-/,-,,. Di più è (loc. cit.) 



(2) ^_A rs j rst =0 (per/ =1.2 n) . 



ri- 

 poniamo 



(3) X = - y_A rs x rs > e analoghe per Y , Z ecc. 

 Sarà 



— = (x , x 1 x„ , X) = — 2 A rs o r , = 1 . 



y a n 



