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l Dunque in particolare le X , Y ecc. non sono combinazioni lineari delle 

 * , Xi , ... . x n ) delle y ,y l , ... , y n ecc. Le equazioni 



[ x rs = ^_B rst x t + c rs x -\- fi rs ^ e analoghe in y , s , .... 



.... !•.« < 



determinano univocamente le B rsJ , e r , , ^ . Anzi, siccome 



— = (x -, %i , ... , cc„ , av s — a rs X) = , segue = « r , . 

 t A - 



Potremo dunque, cambiando lievemente le notazioni, scrivere: 

 (4) x rs = X ha x m + a rs X -f- tf rs a; (e analoghe in y ,s , ...,) . 



Dalla (3), derivando cov amantemente, ricordando che x rst — J rst X è 



combinazione lineare delle z , xi , perchè (a? , x± , ... , x„ , av»* — -^-stX) = 0, 

 troviamo: 



X; = — A rs x r3 t = - ~y_ A rs 4 rst X -j- • ■ • ■ , 



n r,s W f,i 



ove, c'owze we^e formole seguenti, con ... intendiamo dei termini, com- 

 binazioni lineari delle x , . Per (2) dunque anche X« è una tale combi- 

 nazione lineare. E quindi, derivando covariantemente (4) e omettendo i ter- 

 mini in x,Xi, troviamo (*) in virtù delle stesse (4): 



%rsl = £_ brsl Aim a mt X -f- = b rst X -\- 



Poiché, come dicemmo, x rtt — ■ x rts è combinazione lineare delle x,-, 

 dovrà essere b rst = b rts ; poiché evidentemente anche b rst = b srt , il sistema 

 delle brst sarà covariante simmetrico. 



Dalla (1), ricordando (4), si trae: 



B ir = 2 — y b ist A ti du s ~Fì b ist A tr du s X a ™ du a dut — 



I s,t s,t ? 



— 2b tsi A tr du s F 2 -{-2 b rst A ti du s 2a itI du„ du r 



Trascurando gli ultimi due addendi, per costruire P 3 = 2' B,> si deve esten- 

 dere la 2 non solo alle coppie i , r con i <Cr , ma anche a quelle con i^>r, 

 e, se si vuole, anche a quelle con i '■ = r , perchè per i — r i primi due 

 addendi si elidono. Così facendo e ricordando che da (4) . (1) segue 



/ A rs . b rs i — , troviamo che : 



r,t 



F 3 = 2 2 bi Si dut du s dui 



cioè b ist = 4ist ■ 



(') Si devono qui ricordare i metodi di calcolo assoluto di Christoffel e di Ricci, 

 e ricordare che dalle (4) ses^ue che le b rs t, le c rs formano come le a rs dei sistemi co- 

 varianti. 



