Date le forme F 2 , F 3 le equazioni (4) restano determinate a meno 

 dei coefficienti c rs della x . Le c rs legate dalla ^_ A rs c rs = sono i coeffi- 



cienti della terza forma fondamentale della ipersuperfìcie 2c rs du r du s 

 (che si può [loc. cit.] determinare completamente come F 2 , F 3 ). 



Osservazione. — Si noti che, posto g = aF 2 ,~x = qx ,y = gy ecc. 

 - g n+2 



il nuovo valore F 2 di F 2 è — F 2 , che coincide con g se a — q 2 ; cioè, 



mutando F <n £> 2 F 2 , ed x in qx e analoghe, tutte le formole precedenti 

 rimangono invariate con nuovi valori per le X e le c rs ('). 



6. Dai precedenti risultati si deduce una nuova dimostrazione pura- 

 mente proiettiva del teorema fondamentale: Condizione necessaria affinchè 

 due ipersuperficie V„ , V„ in corrispondenza biunivoca (una luogo del 

 punto x , y , ... , l'altra del punto x , y , ... , essendo le x , y , ... , x , y , ... 

 funzioni degli stessi parametri u r ) siano protettivamente applicabili in due 

 punti omologhi A , A è che ivi si corrispondano le direzioni assintotiche 

 (le forme F 2 , F 4 per V e V siano in A , A proporzionali). Se questa con- 

 dizione è soddisfatta dappertutto (per tutti i valori delle u r ), la condi- 

 zione non solo necessaria ma anche sufficiente per l'applicabilità in A . A 



è che ivi fe V,T abbiano uguali elementi lineari (le forme F 3 . F 3 siano 

 nello stesso rapporto delle F 2 , F 2 ). 



Per l'applicabilità in A . A si deve ( 2 ) poter trasformare V„ con una 

 tale collineazione e scegliere le costanti q ,m ,n ,1 in guisa che in A. , A 

 sia x = qx ; x~i = q(x, -f- mix) ; x rs = Q.(%rs + n r x s -j- n s x s + l f s a') (ove 

 le x rs sono derivate ordinarie). Ne segue subito che in A , A le forme F 2 ,Fj 

 differiscono per il solo fattore q" . Se per tutti i valori delle u le F 2 , ¥ t 

 sono proporzionali, noi possiamo trasformare proiettivamente V„ in guisa che 



(') Se non usiamo coordinate normali (loc. cit.), ciò che toglierebbe ogni indeter- 

 minazione, il fattore q resta arbitrario; i simboli ed y*\ di Christoffel di 2* 

 specie per F 9 , F a sono legati dalle 



(dove s rr =1 ed s rs = per r =4= s). Le nuove derivate covarianti di x = qx rispetto 

 a F a = q 2 P s valgono qx rs + «rs 2 &hkQh OS* + — («r S ^ 9 Q — 2p r q s -f- q Q rt ) ove x rs sono 



le derivate di x rispetto F a . Se ne deducono tosto i nuovi valori di X = — SkrsXn, 



+ «Vt (log (>t s + f si (log g) r — a rs Z Àu (log g) t 



n 



delle c. 



rs 



ecc. 



( 2 ) Cfr. la Mem. dell'A. mei Eend. del Circ. Mat. di Palermo, 1916 (§ 9). 



