— 106 — 



sia identicamente F 2 = F 2 e che in A , A sia lo = x , Xi — Xi . Se nei 

 punti A, A è in più x rs = x n -j- n r x s -}- n s x r -J- lr$ % (forinole che riman- 

 gono inalterate, se con x rs indico derivate covarianti rispetto ad F 2 ), si cal- 

 colino le forme F 3 , F 3 per mezzo delle (1). Si trova che la loro differenza 

 vale 22(B ir — B ir ) cioè — 2(2n r dtir)J?2 , che, dovendo (come F 3 ed F 3 ) 

 essere apolare con F 2 , è nulla. Cioè F 3 = F 3 come dovevasi provare (e 

 inoltre si trova = 0). Viceversa, se V,V hanno la stessa forma F 2 , e 

 nei punti A , A le forme F 3 , F» sono uguali, si può trasformare proiettiva- 

 mente V in guisa che in tali punti sia x = x , Xi = x, ; dalla identità 

 (x , Xi , x 2 , ... , x n , x ri ) = (x , Xi , ... , x n , x rs ) segue che si potranno deter- 

 minare delle costanti k in guisa che nei punti A , A sia x rs = x rs -f- 



-j- 2_ fcrk Xt -f- attira • Se ii e deduce che: 

 t 



X = - 2 k rs x rs = X -j- kx + 2k t x% (nel punto A) (k , k t costanti). 



Sottraendo l'una dall'altra le equazioni differenziali per x rg , x rs se ne 



deduce infine : Hc rs — x^ = a rs 2_ fa x t -j- h rs x (h rs = cost.) ; (cosicché la 



t 



costante k rst vale r> rs k t ) (h rs = k rs ). 



Se con una ulteriore collineazione che lasci fisso il punto x (cioè il 

 punto A), e il punto A< di coordinate (#,• , fi , ... , wì) per 3 = 1,2,...,», 

 portiamo il punto di coordinate (X , Y , ecc.) sulla retta che da A proietta 

 il punto (X , Y , ecc.) renderemo k t = , e quindi x rs — x rs = h rs x ( ! ). 

 Le due ipersuperficie saranno dunque proiettivamente applicabili in A. c. d.d. 



Osservazione. — Nella prima parte della precedente dimostrazione 

 si è ammesso che le V , V abbiano dappertutto uguali forme F 2 , perchè 

 dalla identità di queste forme nei soli punti A , A e dalle 



+ 



-j- n r x s + >h Xr + Irs % in derivate ordinarie non si poteva dedurre che 

 queste ultime uguaglianze valevano nei punti A , A anche in coordinate co- 

 varianti. Nell'ultima parte della dimostrazione la stessa ipotesi serve per 

 passare viceversa da derivate covarianti a derivate ordinane. 

 In una prossima Nota proveremo che : 



1°) Come la forma F 2 risulta dallo studio della intersezione di V„ 

 con l'iperpiano tangente, così si giunge alla F 3 studiando l'intersezione di 

 V„ con le quadriche tangenti. 



2°) Una V„ è per « > 2 proiettivamente indeformabile; fanno ecce- 

 zione le V n , il cui cono assintotico ha generatrici doppie; le quali sono 

 tutte e sole le V„ inviluppo di oo r ipeipiani con r < n. (Nella presente 

 Nota si è studiato il caso r— 1). 



(!) Questa uguaglianza per le derivato covarianti rispetto a W porta a una formula 

 analoga per le derivato ordinarie (perchè aa==Xi)< 



