essendo 



K«\s,t) = K(s,t) 



(5) K ( ">(s , t) = k(s) K ( "-"(s , t) + f 6 K(s , v) K<— n (w + 

 f (» = 2,3,...); 



Se e v sono due interi positivi si ha 



(6) K ( <* +v> (« , t) = #■(*) K^X* - 1) + ***(0 K (, "(5 , t) + 



+ f K rt) (* , v) K ( f*> , dv , 



-'a 



la quale dimostra che K (,l) (s,^) è (nazione simmetrica di set. 



Per A(s) = .0 le K ln \st) si riducono agli iterati del nucleo K(s , t), 

 nel senso di Fredholm. Noi chiameremo K (n, (s , t) n esimo nucleo iterato di 

 K(s , t) per mezzo di k(s). 



Dalla (6) si trae facilmente che il nucleo iterato di ordine m di 

 K (n) (s , t) per mezzo di k n {s) coincide col nucleo iterato di ordine nrn di 

 K(s , t) per mezzo di k(s). 



Formiamo le iterate di K (r) (s,/), dove t si considera come costante, 

 relative a K (r) (s , t) e k r {s), e denotiamo con GS, r) ( s > 1 R iterata di ordine 

 n — le con G\ r) (s , /) la stessa K (r) (s . t), ossia poniamo 



G<T>(s , t) = k'\s) Qt&is , + pK<"(y . s) G<£,(« . /) rfy, 

 (« = 2,3,...) , (r = l .2,...). 



Si dimostra la seguente eguaglianza 



(7) G%\s , t) = K (nr \s . t) — k r {l) K (( "- lw (s , t) , 



quindi, per l'equazione di Fredholm le G ( „ r, (s , t) si riducono ai nuclei iterati, 

 Dalla (7), per r = \, si trae 



K^\ Sì t)= n fk m (t)G^l m (s,t) 



e perciò 



(8) Gir , (**O=T#"(/)G<2U(«,"0. 



m=0 



Per la (4) poi si ha 



(9) G£U(s , t) = k r (s) G<£,_,(« , + | G<> , /) G<> . s) tfr , 



