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e per mezzo di questa si può dimostrare che, rissato r, se per qualche n si 

 ha G^ r, (s , t) = quasi dapertutto, sarà allora quasi dapertutto G$(& ,t)—Q 

 per n > 2 . 



3. Introduciamo ora altre definizioni. Se una funzione y>(s), reale o com- 

 plessa, definita in (a , b) e sommabile in questo intervallo insieme col qua- 

 drato del suo modulo, non nulla quasi dapertutto, soddisfa quasi dapertutto 

 all'eguaglianza 



fi essendo una conveniente costante, chiameremo g>(s) una funzione fonda- 

 mentale e fi la corrispondente costante caratteristica relative al nucleo 

 K(s , t) ed alla funzione k(s). 



Inoltre, se non è quasi dapertutto (fi — k(s)) g>(s) = chiameremo 

 (p(s) funzione fondamentale propria, la chiameremo impropria nel caso 

 contrario. 



Se k(s) = si ricade nelle funzioni fondamentali nel senso di Fredholm. 



Una combinazione lineare a coefficienti costanti di un numero finito di 

 funzioni fondamentali corrispondenti alla stessa costante caratteristica è fun- 

 zione fondamentale corrispondente alla stessa costante. 



Se 5Pi(s) e (p 2 {s) sono funzioni fondamentali corrispondenti a costanti 



Risulta di qui che le costanti caratteristiche sono reali e costitui- 

 scono un insieme numerabile e che la ricerca delle funzioni fondamentali 

 può limitarsi a quelle delle funzioni fondamentali reali. 



4. Abbiamo i seguenti teoremi, estensioni di altri noti relativi alle 

 funzioni fondamentali nel senso di Fredholm. 



I. Ogni funzione fondamentale relativa al nucleo K(s , t) ed alla 

 funzione k(s), .corrispondente alla costante caratteristica fi , e anche fun- 

 zione fondamentale relativamente al nucleo K (n) (s , t) ed alla funzione k n (s), 

 corrispondente alla costante caratteristica fi n . 



II. Inversamente se n è discari, ogni funzione fondamentale rela- 

 tiva a K (n) (s,t) e k"(s) corrispondente alla costante fi lo è anche relati- 

 vamente a K(s , t) e k(s) e corrisponde alla costante f/ fi, la radice essendo 

 presa nel senso aritmetico. 



Se n è pari e <f(s) è una funzione fondamentale relativa a K (n) (s,t) 

 e k n (s) corrispondente alla costante fi, si ha fi > ed allora: o tp(s) è 

 funzione fondamentale relativamente a K(s , /) e k(s) corrispondente alla 

 costante ]/fi, la radice reale essendo presa con segno conveniente, ovvero 

 <p(s) è la somma di due tali funzioni, g>i(s) e g>t(s); corrispondenti alle 

 costanti caratteristiche ri- yfi . Si presenta il primo caso per fi = 0. 



a 



caratteristiche diverse si ha 



a 



