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5. Cominceremo con l'occuparci di alcuni casi particolari. 



Supponiamo che qualcuno dei nuclei iterati di K(s , t) per mezzo di 

 k(s) sia nullo, e sia K^s , t) il primo che si annulla ('). 



Si dimostra che si ha r — 2, quindi per n pari K M (s , t) — e per 

 n dispari K <n) (s . t) = /c"-'(/)K(s , /) . 



Si ha dunque 



(10) (k{s) + *(<)) K(s , t) + f K(s,y)K(y,*)<ta = 0. 



Si trovano ìq questo caso notevoli proprietà della funzione K(s , t) e si 

 arriva fra l'altro alla seguente conclusione : relativamente al nucleo K{s,t) 

 ed alla funzione k{s) esistono le funzioni fondamentali proprie <fi(s), 

 <Pì(s) , . . formanti un sistema ortogonale e corrispondenti alle costanti 

 caratteristiche jU x . jc< 2 , ... (non necessariamente distinte) ed è 



(ni — k"is)) <p„{s) = 

 e verso la funzione K(s , t) converge in media la successione delle somme 



co 



parziali della serie Y (/n n — k(s)) <p n {s) (f„(t), ciò che scriviamo nel se- 



n=ì 



guente modo 



co 



(11) K(s ,• t) ~ Y (fi n — k(s)) <f n (s) <p n (t) . 



«= 



Questa si può considerare come una generalizzazione della formula 



co 



(12) K(s , t) ~ 2. X » V»(«) <M0 



che lega il nucleo simmetrico K(s , t) alle funzioni ip„(s) fondamentali nel 

 senso di Predholm ed alle corrispondenti costanti caratteristiche X n . 



Tutte le volte che è valida la (11) si trovano facilmente (come mo- 

 streremo in altra Nota) le condizioni necessarie e sufficienti a cui deve 

 soddisfare una funzione f(s) perchè le (1) e (2) ammettano soluzioni, con- 

 dizioni che per la (l) dipendono dal valore di A, e soddisfatte queste con- 

 dizioni si trova la forma generale delle soluzioni. Si generalizzano così alcuni 

 risultati noti di Schmidt e Picard (*). 



(') E superfluo avvertire che supponiamo sempre che le eguaglianze fra funzioni 

 valgano quasi dapertutto, fatta cioè eventualmente eccezione per .insiemi di punti di 

 misura nulla (misura lineare o superficiale a seconda dei casi). 



( a ) E. Schmidt, Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integrahjleichungen, 

 I Teil [Mathematische Annalen, Bd 63 (1907), pp. 433-476]. E. Picard, Sur un Théo- 

 rèrne général relatif aux équations intégrales de première espèce etc. [Rendiconti del 

 Circolo Matematico di Palermo, voi. 29 (1910), pp. 79-97]. 



