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Notiamo ancora che si arriva alla (11) nel caso" 1 particolare esaminato" 

 risolvendo l'equazione funzionale (10) nelle funzioni incngnite|K(s ,p) e k(s). d 



6. Le condizioni del n. precedente mostrano come sarebbe interessante^ 

 di poter mettere in ogni caso la funzione K(s , t) sotto la forma (11). 



A questo proposito sono interessanti le seguenti proposizioni: 

 Se vale la (11), si avrà per qualunque r > 1 



K lr) (s , t) - f(^ n —k r (s)) <p n (s) g> n (t) . 

 Se per qualche r si ha 



K ( '>(s ,0 - f{K — k r (s)) tpjs) xp n {t) , 

 le ift n (s) formando un sistema ortogonale, si potrà porre 



K"(s ,0~£(i<- #t*>) 9n(s) <p(t) , 



dove le <p„(s) formano ancora un sistema ortogonale e <p n (s) è una fun- 

 zione fondamentale propria relativa a K(s , t) e k(s), corrispondente alla 

 costante (i n . 

 Se è 



K<»(s , t) ~ f (tà - k*(s)) <p n (s) 9n (t) , 



le <p n (s) formando un sistema ortogonale, e g> n (s) essendo una funzione 

 fondamentale propria relativa a K(s , t) e k(s) , corrispondente alla co- 

 stante fi„, si avrà 



00 00 



K(s , t) ~ y (p n — k(s)) cp n (s) <p n (t) + T (n'„ — k(s)) <p' n {s) g>' n (t) 



«=1 n=l 



le g> n (s) e <p' n (s) formando insieme un sistema ortogonale ed essendo 

 (fi'* — k*(s)) (p' n (s) = : in altri termini se una reiasione analoga alla (11) 

 vale per una delle due funzioni K(s , t) e K (8) (s , t), vale anche per l'altra. 



7. Un caso particolare interessante in cui la (11) diventa una gene- 

 ralizzazione della (12) è quello in cui k(s) prende solamente un numero 

 finito di valori, fatta eventualmente eccezione di valori presi in un insieme 

 di punti s di misura nulla. 



Infatti, siano n valori di k(s) e supponiamo di avere dimostrata la (11) 

 quando k(s) prende n — 1 valori al più. 



Se Vi e v 2 sono due dei valori di k(s) e si pone h = Vì ~j[ Vi , se for- 



miamo il secondo nucleo iterato di K(s , t) per mezzo di k(s) — h , e lo 



