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chiamiamo P t (s , t) , siccome (k(s) — h)* prende al più n — 1 valori, per 

 la P t (s , t) varrà una relazione analoga alla (11) e perciò varrà anche per 

 K(s , i), quando si sostituisca k(s) con k(s) — A, ma ciò non altera la forma 

 della (11). 



Vale dunque la (11) per qualunque valore di n, se vale per n = ì. 

 Ora per n = 1 k(s) è una costante (k(s) = fi) e la (12) si può scrivere 



K(S , t) ~ V + X n - k{ S )) Xpn(s) tpn(t) 



ehe ha precisamente la forma (11). 



In seguito troveremo altri casi in cui vale la (11). 



8. Un altro caso particolare è quello in cui si ha per qualche r 

 G<'>(s,*) = 0. 



Si dimostra che si possono dare due casi : o è G» \s , t) = ed allora 

 si ha per qualunque r ed n >: 2 GJf^s , t) = 0, ovvero è G£''(s , t) =4= e 

 G»)(« , *) = ed allora si ha per r pari ed n > 2 GJfX* ,/)-0. 



Nel primo caso si ha 



00 



K(s , ~ — y </> n (s) y w (<) 



dove le 9>„( s ) formano un sistema ortogonale e sono funzioni fondamentali 



proprie corrispondenti alla costante caratteristica zero. Si ha k(s) g> n (s) = 

 = &n<p n (s), con A n costante. 

 Nel secondo caso 



K(s , t) J_ k(s) <p n (s) <p n {t) + £ {fi' n — k(s) tp' n (s) 9 ' n (t) . 



dove le (p n (s) e cf4(s) formano insieme un sistema ortogonale, <p„(s) è una 

 funzione fondamentale propria corrispondente alla costante zero, (p' n (s) è una 

 funzione fondamentale propria corrispondente alla costante fi' n . 



Si ha qui (p'* — k*(s)) (f ' n {s) = 0,# 2 (s) </>„(s) = A* <p n (s) con l n costante. 



Si conclude dunque che se per qualche coppia n , r risulta G ( „ r> (s, t)=0 

 vale la (11). 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 2° Sem. 



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