— 147 — 



Geometria. — // problema della deformazione proiettiva 

 delle ipersuperficie. Le varietà a un qualsiasi numero di dimen- 

 sioni. Nota del Oorrisp. Guido Fubini 



Siano F 2 = 2a,ijduiduj ed ~F 3 = IJ rst du r du s du t le due forme ( 2 ) co- 

 stituenti l'elemento lineare proiettivo di una ipersuperficie V„ contenuta in 

 uno spazio lineare S„ +1 ad n -j- 1 dimensioni. Sia A y - il complemento alge- 

 brico di ciij nel discriminante J di F 2 , diviso per J, che supponiamo di- 

 verso da zero. Le n -J- 2 coordinate omogenee x , y , s , ... , t di un punto 

 di V„ soddisferanno (indicando con x r , x rs ecc. derivate covarianti secondo 

 la forma P 2 ) alle equazioni: 



(1) x rs = 2. J >sh a as x * + a rs X + c rs x (e analoghe in y , s , ...) 



hJt 



(2) X = - 2 A rs Xrs = '— e analoghe 

 ove 



(3) X A rs J rst = (/=1 .2.... 



Le c rs sono i coefficienti della terza forma fondamentale fz = 2c rs du r dug t 

 e soddisfano alla 



(4) V A„ c rs = , ossia Y C ftft = , ove C,. s = T £ rh A fts . 



r,s h h 



Le F 2 ,F 3 sono determinate a meno di un fattore comune: scelte F 2 yF 3 , 

 le x,y,... sono completamente determinate: anzi nel caso generale (caso 

 normale) si potrebbe togliere ogni indeterminazione alle F 2 , F 3 (e quindi 

 anche ad / 2 ). 



Indicati con (st , rh) i simboli di Riemann per F 2 , il modo per noi 

 migliore di scrivere le condizioni di integrabilità è di scrivere 



(5) X &. rp {X pst — Xpts) = — Z.(st , Qh) A r p A ftft X H 

 p h,n,p 



(identicamente nelle x , x% , X), equazioni che sono combinazioni lineari di 



( x ) Pervenuta all'Accademia il 28 settembre 1918. 



( a ) Cfr. la mia Nota: Nuovi studi sull'elemento proiettivo ecc. (2° sem. 1918 di 

 questi Rendiconti), dove si troveranno altre citazioni. 



Rendiconti. 1918. Voi. XXVII, 2° Sem. 20 



