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forinole ben note di calcolo differenziale assoluto di Christoffel e Ricci. De- 

 rivando covariantemente (1), si deduce facilmente da (5) che le X, sono 

 combinazioni lineari delle x , x r , come si può provare anche partendo da 

 (2), (4). Quindi potremo porre, introducendo nuove incognite k t ,l th : 



(6) X t = X t x -j- y L tk x h ove L ts = ^_ l th A* ft . 



h 



Porremo anche rjrr = 1 , rj rs = per r =^= s e 



(7) [si ,rkl = J_ A hh A,* X 



A.p 



X \_J h? is — ^hpst + (*« , Qh) + 2_ À y ( J ?it J hjs — Jpsi 4htj)~\ (*) . 



i<j 



Uguagliando nei due membri di (5) i coefficienti di x k e di x, si trova: 



(8) [st , rk~] = rjgr L lk — i] tr L sk -f- rj th G sr — ^ sft G tr 



(9) 2_ A rp [Cp st — Cpt s + ^_ (4 s pk Gth — ^iph 0«ft)] + J? rs ^ — Vrt h = . 



p " 



Infine, scrivendo che da (6) si deduce X ts = X st , si trova in modo- 

 simile : 



(10) l st = lu 



(11) X t rj th — X g r] sh -f- 2. Aftft (4 (s — Ihst) -f- X (Ltp ^pfts — L sp z/p ft i) A hft = 



h p,h 



(12) 4-FlC s ^,ft = l si +yC rt 2 s i. (Si noti che XC sft ^ = Z^ftW). 



Le (3), (4), (8), (9), (10), (11), (12) sono le condizioni di integrabilità 

 o compatibilità delle (1) [e (6)]; esse per s=t si riducono a identità. 

 Studiamole per n^>2 (*), quando lo spazio ambiente ha n -f- 1 > 4 di- 

 mensioni. 



(') È [st,rk2 = — [fs , rkj ; [s( , r&] + [si , Ar] = 2 A rp A tó (^ Ap(s — ^ Apit ) ; 



[si , sAQ — [is , AsJ = y Ap S Jhpts , che si annulla se t = k in virtù 



delle (3). 



(*) Nel caso n = 2 non si possono dare 3 indici s,k,t di/ferenti, nè perciò deter- 

 minare le Gth dalle (13). Nè le equazioni che danno le C ss -|-L(( insieme alla 2C SS ba- 

 stano a determinare le C ss . Il caso n = 2 nelle mie Note cit. è trattato col metodo più 

 semplice possibile. La potenza dei nostri metodi si vedrà confrontando p. es. con le con- 

 dizioni di integrabilità negli studi di Wilczynski (a cui principalmente è dedicata la 

 Mem. del tomo 10 delle Trans, of the Amer. Math. Society). 



Un metodo di calcolo, assai più complicato, che nel caso n = 2 può servire a sta- 

 bilire il contatto tra le equazioni classiche (che userò con le notazioni delle Lezioni di 

 Geometria differenziale del prof. L. Bianchi) e quelle di Wilczynski è il seguente. Si. 



