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Dalle (8) supponendo successivamente r^=s,t e k=^s,t, oppure 

 r = s , ma k =j= s , t, oppure k = s, ma r ={= s , t , oppure r = k = s 4= t, 



usino coordinate proiettive non omogenee cc,y,z ed \=t. Una superfìcie si può defi- 

 nire dando equazioni del tipo: 



Xuu - 2 (g + M) *. g gg - ^ - = - 2 + N) g, (e analogie in 



Chiameremo ? il valore di questi rapporti ; »? , ? , r == i valori analoghi ottenuti 

 scrivendo y,2,t al posto di x. Definiamo due quantità A, A in^guisa che: 



D„ _D' W + 2MD'= D(f-AD" — hD') — T>'(fi — AD — AD') 

 D^' — D'„ + 2N D' = - D'(p — AD" — AD') -f- D'V — A D - A W) . 



Poniamo 



X = Z-hx u -kx v e analoghe ; j = AD , j^J = AD" , j^j =hD +2(u + M), 

 j 12 J=AD' + ^ ; j 22 J = AD" + 2(„ + N) ; [1 %J7dQ.p 



\ 1 1 , 21 ì = D' (2jtt A + 2 M A + A„ + »»A) — D (hv + A„) — 



- (2^ + 2M„ - y m -!xv)= — A 21 (DD" - D'*)"' 



{ 21 , 21 ) = — D'(Av + *.) + D" (»A + A„ + 2fi f h) + 2N> + »>* — r, = A„ (DD" - D"y\ 

 (12,12] = -D'(A^4-A„) + D(^A + A„ + 2»'A + 2NA) + 



+ (2 + (x* - ,u„) = A 23 (DD" - D'») 1 



| 22, 12] =D'(2fA + 2NA + A„ + ^A) — T)"(kfi + k w )- 



- (2>> u + 2N„ -fz v — fzy) = - A lt (DD" - D") 



notazioni, che per ora potrebbero sembrare curiose. Le condizioni d'integrabilità delle 

 equazioni in X dànno: 



fD D"_D' a )X„ = (lll,211D' — {21 f 21]D)*„ + ({22 12) D — D' jl2,12j)tf„ 

 (DD" - D") X„ = ( 1 11 . 21 1 D" — | 21 , 21 1 D') ,v u + ( | 22 . 12 j D' - D" 1 12 , 12 ) ) ,r. 



(e analoghe in T . Z) 



che, come condizioni di integrabilità, dànno in conclusione: 

 A,. = A.. ; D(^ + ^j^M\1) + 



iti'/ tèli . 3All_2A ,n UA H-l-A » 22 | + A Pi a * 12 '-0 



e l'analoga, ottenuta cambiando 1 con 2, « con i>. 



Queste sono in fondo le equazioni più semplici, che si possano considerare equiva- 

 lenti a quelle di Wilczinsky. Se si considerano Ddu 1 -\- 2D' du dv + D" dv* come la se- 

 conda forma di Gauss, e le quantità tra ( ] come i simboli a 3 e 4 indici relativi all'ele- 

 mento lineare di Gauss, le equazioni, che ci hanno servito a determinare A, A sono 

 le ordinarie equazioni di Codazzi; e le altre equazioni sono conseguenza ben nota di 

 equazioni classiche. Si noti (cfr. la mia Nota in corso di stampa negli Atti della R. Acc. 

 delle Scienze di Torino) che dare le D,D',D", a meno di un fattore comune, e dare 



