oppure r = s ={= k = t , si trae : 



[st , rk} = (r=j=s,£) (A =j= s ,t) (per s = tf si ha un'identità) 

 3 ) L tt = [si , sA] ; C t * = [fe , A«] ; Uh — C rt = [A* , HX] ; (s =|= < =M 4= s ) 

 ( , 5 /] = L„ + C ss (s 4= ; X C fth = . 



Ti 



Le ultime due equazioni danno tutte le C ES , L tt ; le precedenti danno 

 le C s j , L s( per s ={= t : cioè risultano determinata sia le c, che le l. 



Ne deduciamo intanto : Se n^>2 ogni ipersuperficie (a più che due 

 dimensioni) è indeformabile proiettivamente, almeno nella nostra attuale 

 ipotesi 4 ={= (che cioè il cono delle direzioni assintotiche non possegga 

 generatrici doppie). Cioè le sole forme P 2 , F 3 (elemento' lineare), permet- 

 tendo di determinare le c rs , definiscono completamente la V n . Nè le forme 

 F 2 ì F 3 si possono scegliere arbitrariamente. Le relazioni tra queste forme 

 sono quelle che si deducono da (13), eliminando le C s{ , L s , ( l ), quelle che 

 si ottengono scrivendo che le X definite da (11) soddisfano a (12), e in- 

 fine quelle che si ottengono scrivendo che le 



Ith = X ^th A-hft •> Cik = z_ L(ft A ftft 

 h h 



formano due sistemi simmetrici (non mutano, scambiando t , k). Anzi queste 

 formole paiono le più adatte a studiare il problema: Determinare le iper- 

 superficie con data forma F 2 , cioè le ipersuperficie, per cui è assegnata 

 V equazione F 2 = delle assintotiche ( 2 ). 



le M , N equivale a dare l'elemento lineare proiettivo della superficie. (Moltiplicando 

 D , D' , D" per uno stesso fattore, le equazioni per x,y ,z non mutano; cambiano però 

 le h,k; V indeterminazione di questo fattore è uno svantaggio, che sembra difficile eli- 

 minare in modo indipendente dalla scelta delle coordinate u , v). 



(') Cioè [st , sk] = [ht , hk} ; [fa , ks} = [th , kh] ; [st , ss} = [ht , hs} — [th , sh] 

 (s,t,h ,k, indici distinti) ; [si , sf] — [ht , hi} = [sk , sk} — [hk , hk} (s =f= f , k ; h=%=t , k}. 

 Queste si possono semplificare ricordando le identità tra le [rs ,hk}. 



( 2 ) In forma metrica il problema si enuncia: Trovare V elemento lineare di Gauss 

 di una ipersuperficie, per cui è data, a meno di un fattore, la seconda forma fonda- 

 mentale. Le equazioni precedenti (per la ricerca di F 3 ) sono però forse più semplici dì 

 quelle cui condurrebbero le note formole di Gauss e di Codazzi, sia perchè si può pre- 

 scindere dal fattore ignoto, sia perchè vi compariscono i simboli di Riemann per la forma 

 data F t , anziché per l'elemento lineare di Gauss incognito, sia infine perchè l'introdu- 

 zione di questo elemento lineare (che è un ente non proiettivo e quindi estraneo al pro- 

 blema) non può che portare complicazioni. Del resto per chi ricordi che F 3 è una certa 

 combinazione della seconda forma di Gauss, e della sua derivata covariante rispetto al- 

 l'elemento lineare di Gauss è evidente che il presente metodo equivale in fondo a usare 

 come incognite tali derivate covarianti dei coefficienti della seconda forma di Gauss. 



