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Si noti che, se le (1) formano un sistema integrabile completamente 

 esse definiscono appunto una ipersuperficie, dì cui F 2 ed F 3 sono l'ele- 

 mento lineare ( 1 ). 



Osservazione 1*. — Assunte come coordinate proiettive non omogenee 

 le — , — , indicate le prime con u x , u 2 , ... , u n , l' ultima con w , 



*C tjC ce 



indicate con w r , w rs , ••• derivate ordinarie (cioè non covarianti), le forme 

 F 2 , F 3 di V„ sono proporzionali a 2w rs du r du g ed a 



g 



— 2 w rs t du r du s du t 4- — ;— - 2 Wrs du r dug dìogJ, 

 n -j- à 



ove 4 è il discriminante della prima. Se ne deduce una nuova dimostra- 

 zione proiettiva che F 3 è apolare ad F 2 , cioè che valgono le (3). Se poi 

 l'origine Ui = w = è un punto di V„, in cui w = è l'iperpiano 

 tangente, e se w rs , uf rst sono i valori in delle w rs , Wr S j > allora hv> i + 

 -)- 2 (1 -\-pi) w — 2w rs u r u s — è l'equazione di una quadrica osculatrice 

 in (la cui intersezione con V„ ha un punto triplo in 0) . (h = cost. ; 

 p x = forma di primo grado nelle u). Il cono cubico tangente alla in- 

 tersezione di V M con la quadrica è 2w% t u r u s u t -f- 3jo a 2w? s u r u s = ic = 0. 

 Quindi: Come F 2 = è l'equazione del cono tangente all'intersezione di 

 V„ con l'iperpiano tangente, così F 3 = è l'equazione dell'unico cono 

 apolare al cono F 2 = , che sia intersezione di Y n con una quadrica 

 osculatrice. 



Osservazione 2 a . — Definiamo le coordinate £ , rj , ... di iperpiano 

 tangente in guisa che S £ x = S ? X{ =0 , S £ X = 1. (Con S indico una somma 

 i cui addendi si ottengono dal primo sostituendo ad x , £ le y , t) , le i , £ 

 ecc.). Sarà « rs = S £ av s = — S a; s = S x £ rs • Poniamo a = 2 A rs f rs : , 



(') Si scelgano infatti i valori iniziali delle .2: , ,r r , X (e analoghe y,y r ,...), che 

 sono arbitrari, in guisa che nel punto iniziale sia D = (x , x, , x 2 , ... , ,v n , X) = f ' A . Il deter- 

 minante D del primo membro ha la prima riga formata dagli elementi scritti tra ( ) ; 

 le altre righe se ne deducono sostituendo ordinatamente alle x , X le y , Y, le 2,Z, ecc. 

 Ricordando che per (1) sia rfX che x r s — a rs X sono combinazioni lineari delle X ,X r e 



che (indicando con ì simboli di Christofiel di 2 a specie per F a ) è 



dxi = 2 yXir + ( ^ ) £q~^ du r , 



si trova d log D = 2^ 1 T . \ du r = d log ]/j . Perciò D e f J , uguali nel punto iniziale, 

 saranno identicamente uguali. E quindi da (1) si deduce appunto: 



J 1 — > X\ , ... , X n , Xrs) —- ®rs J / — (<3/ • Xl , <#2 , ■■• , <Cn , Xrst) A rst • 



yj yj 



