e analoghe (così sono definite le quantità duali di X, Y, ...). Con considera- 

 zioni duali delle precedenti si prova che 8x3=1 e che Scc£f < = 0, e 

 quindi anche S 3xì = . Le ? , rj , ... sono i complementi dell'ultima co- 

 lorino, di (x , Xi , ... , x n , X) flfem jt?er jA/ ; similmente /e x ,y , ..; sono 

 i complementi dell'ultima colonna di (£ , £j , ... , £„ , 3) divisi per ]fj e 

 moltiplicati per un fattore X, che ora determineremo. Il prodotto dei due 

 ultimi determinanti citati vale, per le precedenti identità (—l) n+1 J; cioè 

 1/18^X8x3 ={— l) n+ \ donde A = (— l) n+1 . Valgono poi le 



-L (£ , £ x , £ 2 , ... , £„ . £ rs ) = (_ « rs ; 



-j= (£ , li , - , ^ , = (- Sa£„, = (— 1)" J rst ; 



f J 



y=^J ì ,...^ n ,3) = (-ir^; 

 e pertanto : 



(!)&<» £rs = — A hft £ ft -f~ «Vs -{- /rs • ? • 



Queste equazioni sono dello -stesso tipo di (1); si vede che, passando 

 dalle x alle £, basta cambiare il segno delle J rsh , Per le y rs (il cui studio 

 merita di essere approfondito), cioè per la forma 2y rs du r du g si possono ri- 

 petere le considerazioni svolte più sopra per le c rs e per la forma 2c rs du r du s . 



Il caso J = (cono assintotico con generatrici doppie) è eccezionale 

 già per la stessa definizione qui usata di F 3 . Proveremo che in tal caso 

 la Y n è inviluppo di co r iperpiani con r < ?> ; da ciò l' importanza dello 

 studio di tale caso eccezionale, perchè permette di estendere le nostre ri- 

 cerche alle varietà V r con r <^n; la varietà duale di una tale Y r è ap- 

 punto una V n del tipo precedente. Scelte a linee u n un sistema di linee tan- 

 genti in ogni punto alla, oppure ad una generatrice doppia del cono assinto- 

 tico, oltre alle S '§ x = S £ x t = varranno le S x = 8 Xi = ; e, poiché 

 V n è luogo proprio di oo" punti, le £„ saranno perciò proporzionali alle £, 

 ossia, dividendo per un fattore, le £ saranno indipendenti da u n ; gli iper- 

 piani tangenti dipenderanno da r <n — 1 parametri (Nel 

 loc. cit. è stato studiato il caso r -= 1). Supposto dunque che gli iperpiani 

 tangenti siano proprio co'", siano x ih) , y m , ... (h = 0, 1 , 2, ... , q ; q—n — r) 

 q -f- 1 sistemi di soluzioni indipendenti (funzioni delle sole u t , u 2 , ... , %) 

 delle equazioni Sf,^ = S£;^ = (j== 1 , 2 r). Potremo supporre 

 3 (0) = l , ^ {0 ° = per « > 0. Poiché i punti di V n soddisfano a tali equa- 



