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zioni, V n sarà luogo del punto x = x (0) -f- N_ v h x <h} (e analoghe in y ,g , ...) 



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ove le v insieme alle u formano appunto un sistema di n variabili coordi- 

 nate. La V„ è formata da oo r spazii S p lineari; le V r (a) {a = , 1 , ... , q) 

 (luogo del punto x (a) ,?/ (a) , .••) sono varietà generiche ad r dimensioni contenute 

 in Y n (che, se a>0, sono contenute anche nell' iperpiano generico x = 0). 

 Un punto generico di una di queste varietà si può supporre generico anche 

 per Y n ', la quale avrà in esso pertanto un iperpiano tangente ben determi- 

 nato. Le equazioni Sf.z' (,1) = (h = 0,1 q) insieme alle S£:r; (a> = 



[i — 1 , 2 , ..- , r) determinano quindi, qualunque sia a (da a q), gli stessi 

 valori per le 2? , t] ... Quindi, invece di dire che le x lh) sono soluzioni delle 

 stesse equazioni S£ó: = S = possiamo dire che le x^ sono combi- 

 nazioni lineari delle ^ <0) , 3* ( > 0) , , x^ , ... , xfi 1 (e analoghe in 



y,s,... ) qualunque siano a , /? (da a (>). (Cioè punti omologhi delle V a 

 sono posti in uno stesso iperpiano tangente alle V a ). Tali equazioni si pos- 

 sono scrivere: 



(14) *r=i/c*r+ £<c* <n 



j=i p=i 



(e analoghe in y , 5 , ...) (per ogni « da 1 a p) . 



Si è posto ci A) = 1, perchè tale equazione è soddisfatta per a; (0) = l, 

 ^a) _ o per a > 0. Tali equazioni, dovendo essere risolubili rispetto alle 

 xj a) , il determinante delle § { ,f è diverso da zero. 



Senza più oltre occuparci del caso generale, supponiamo, per esempio, 

 q = 1, ponendo y a) = y , = s , .... (È x = a? <u == 0). Poiché moltipli- 

 care y ,z , ... per un fattore, equivale a moltiplicare v x per un fattore, po- 

 tremo considerare y ,s , ... come coordinate omogenee di un punto in uno 

 spazio lineare S„; il quale punto descriverà una ipersuperfìcie W„_i , per 

 la quale, conservando le precedenti notazioni, indicheremo l'elemento lineare 

 con 92 = 2a ts du t du s , e y 3 = SJ^ h du, duf du h (s , t , i ,j , h = 1 , 2 , ... , n — 1). 

 Scriveremo (14) nella forma: 



(15) y l s 0) = Y b si A ih y h -\- X s y e analoghe in s , ... , t . 



Posto D s(i - = b s u + A s da + ^L.b sh k hk J kti , si trova (derivando secondo <p») 



h,i; 



per (1): 



= X A »h yn + b *t Y -f- ( i st + X c « ) F • 



Le condizioni d'integrabilità sono pertanto: 



X st -f- 2 b sh A ftft = 2. {s -I- 2 1 è» A hS ; é (s = b st ; D s(i = D 



